1113.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet sa korenima:

2+3⋅2−33=2+36\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}} = \sqrt[6]{2+\sqrt{3}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo mogli da pomnožimo korene, moramo ih svesti na zajednički izložilac korena. Najmanji zajednički sadržalac za 2 (kvadratni koren) i 3 (kubni koren) je 6.

L=(2+3)36⋅(2−3)26L = \sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^3} \cdot \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2}

Sada oba izraza možemo staviti pod zajednički šesti koren i grupisati delove osnove kako bismo iskoristili razliku kvadrata.

L=(2+3)⋅(2+3)2⋅(2−3)26L = \sqrt[6]{(2+\sqrt{3}) \cdot (2+\sqrt{3})^2 \cdot (2-\sqrt{3})^2}

Primenjujemo pravilo za kvadrat proizvoda (a2⋅b2=(ab)2) (a^2 \cdot b^2 = (ab)^2) na drugi i treći činilac pod korenom.

L=(2+3)⋅[(2+3)(2−3)]26L = \sqrt[6]{(2+\sqrt{3}) \cdot [(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})]^2}

Unutar zagrade prepoznajemo razliku kvadrata (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 i računamo njenu vrednost.

(2+3)(2−3)=22−(3)2=4−3=1(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1

Zamenjujemo izračunatu vrednost nazad u glavni izraz.

L=(2+3)⋅126=2+36L = \sqrt[6]{(2+\sqrt{3}) \cdot 1^2} = \sqrt[6]{2+\sqrt{3}}

Dobijeni rezultat na levoj strani jednak je izrazu na desnoj strani, čime je dokaz završen.

2+36=2+36\sqrt[6]{2+\sqrt{3}} = \sqrt[6]{2+\sqrt{3}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti