1112.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi sledeća jednakost:

(2−3)26−1533=7−43(2-\sqrt{3})\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} = 7-4\sqrt{3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo analizirati izraz pod trećim korenom 26−1533. \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} . Pokušaćemo da izraz 26−153 26-15\sqrt{3} zapišemo kao potpun kub oblika (a−b3)3. (a-b\sqrt{3})^3 .

26−153=(a−b3)326-15\sqrt{3} = (a-b\sqrt{3})^3

Razvijamo desnu stranu koristeći formulu za kub razlike:

(a−b3)3=a3−3a2b3+3a(b3)2−(b3)3(a-b\sqrt{3})^3 = a^3 - 3a^2b\sqrt{3} + 3a(b\sqrt{3})^2 - (b\sqrt{3})^3

Sređivanjem izraza dobijamo:

a3−3a2b3+9ab2−3b33=(a3+9ab2)−(3a2b+3b3)3a^3 - 3a^2b\sqrt{3} + 9ab^2 - 3b^3\sqrt{3} = (a^3 + 9ab^2) - (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}

Poređenjem sa 26−153, 26-15\sqrt{3} , pretpostavljamo da su a a i b b celi brojevi. Proveravamo za a=2 a=2 i b=1: b=1 :

(2−3)3=23−3⋅22⋅3+3⋅2⋅(3)2−(3)3(2-\sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3

Računamo vrednost dobijenog izraza:

8−123+18−33=26−1538 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3} = 26 - 15\sqrt{3}

Sada kada smo utvrdili da je 26−1533=2−3, \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} , zamenjujemo to u početni izraz na levoj strani:

(2−3)(2−3)=(2−3)2(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = (2-\sqrt{3})^2

Kvadriramo dobijeni binom:

22−2⋅2⋅3+(3)2=4−43+32^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3

Sabiranjem racionalnih delova dobijamo konačan rezultat koji odgovara desnoj strani jednakosti:

7−437 - 4\sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti