1122.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati matematički izraz koristeći pravila za korenovanje i transformaciju složenih radikala:

I=6+2(6+3+2)−6−2(6−3+2)2I = \frac{\sqrt{6+2(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2})} - \sqrt{6-2(\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2})}}{\sqrt{2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati izraz pod prvim korenom. Primetimo da se broj 6 može napisati kao zbir kvadrata tri korena: (3)2+(2)2+(1)2=3+2+1=6. (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + (1)^2 = 3 + 2 + 1 = 6 .

6+26+23+22=(3+2+1)26 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2

Koristimo identitet za kvadrat trinoma (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca . Na osnovu toga, prvi koren postaje:

(3+2+1)2=∣3+2+1∣=3+2+1\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1| = \sqrt{3} + \sqrt{2} + 1

Slično analiziramo izraz pod drugim korenom. Primetimo raspored znakova unutar zagrade:

6−26+23−226 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}

Ovaj izraz odgovara kvadratu trinoma gde su neki članovi negativni. Proverom dobijamo:

(3−2+1)2=3+2+1−26+23−22=6−26+23−22(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2 + 1 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}

Sada drugi koren možemo zapisati kao:

(3−2+1)2=∣3−2+1∣=3−2+1\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1| = \sqrt{3} - \sqrt{2} + 1

Vratimo dobijene vrednosti u početni izraz i sredimo brojilac:

I=(3+2+1)−(3−2+1)2I = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1) - (\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}}

Nakon oslobađanja zagrada i oduzimanja, dobijamo:

I=3+2+1−3+2−12=222I = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo konačan rezultat:

I=2I = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti