1632.

255.a

TEKST ZADATKA

Ispitati funkcije i skicirati njihove grafike: y=−x2+1 y = -x^2 + 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Pošto je zadata funkcija polinom drugog stepena, ona je definisana za sve realne brojeve.

D=R=(−∞,+∞)D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Određujemo nule funkcije rešavanjem jednačine y=0. y = 0 .

−x2+1=0  ⟹  x2=1  ⟹  x1=−1,x2=1-x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y(0)=−02+1=1y(0) = -0^2 + 1 = 1

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna (y>0 y > 0 ) kada je grafik iznad x-ose, a negativna (y<0 y < 0 ) kada je ispod x-ose.

x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
−x2+1-x^2+1
−-
++
−-

Određujemo ekstremne vrednosti (teme parabole). Kvadratna funkcija je oblika y=ax2+bx+c, y = ax^2 + bx + c , gde su koeficijenti:

a=−1,b=0,c=1a = -1, \quad b = 0, \quad c = 1

Pošto je a<0, a < 0 , funkcija ima maksimum. Računamo x-koordinatu temena po formuli xT=−b2a. x_T = -\frac{b}{2a} .

xT=−02(−1)=0x_T = -\frac{0}{2(-1)} = 0

Računamo y-koordinatu temena po formuli yT=4ac−b24a y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} ili zamenom xT x_T u funkciju.

yT=4(−1)(1)−024(−1)=−4−4=1y_T = \frac{4(-1)(1) - 0^2}{4(-1)} = \frac{-4}{-4} = 1

Teme parabole, koje predstavlja maksimum ove funkcije, nalazi se u tački:

T(0,1)T(0, 1)

Određujemo monotonost funkcije na osnovu temena i znaka koeficijenta a. a .

y↗za x∈(−∞,0)y↘za x∈(0,+∞)\begin{aligned} y \nearrow & \quad \text{za } x \in (-\infty, 0) \\ y \searrow & \quad \text{za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu dobijenih podataka (nule u x=−1 x = -1 i x=1, x = 1 , presek sa y-osom i teme u tački (0,1) (0, 1) ), možemo skicirati grafik. Parabola je okrenuta otvorom nadole.