1631.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkciju i skicirati njen grafik:

y=2x2−x+1y = 2x^2 - x + 1
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom, funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D=RD = \mathbb{R}

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine 2x2−x+1=0. 2x^2 - x + 1 = 0 . Računamo diskriminantu:

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅2⋅1=1−8=−7D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7

Pošto je diskriminanta manja od nule, jednačina nema realnih rešenja, pa funkcija nema nule (grafik ne seče x-osu).

x1,2∉Rx_{1,2} \notin \mathbb{R}

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije:

y(0)=2⋅02−0+1=1y(0) = 2 \cdot 0^2 - 0 + 1 = 1

Grafik seče y-osu u tački (0,1). (0, 1) .

Određujemo koordinate temena parabole T(α,β). T(\alpha, \beta) . Prvo računamo x-koordinatu temena:

α=−b2a=−−12⋅2=14\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}

Zatim računamo y-koordinatu temena:

β=4ac−b24a=4⋅2⋅1−(−1)24⋅2=8−18=78\beta = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 1 - (-1)^2}{4 \cdot 2} = \frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8}

Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan (a=2>0 a = 2 > 0 ), funkcija ima minimum u temenu:

T(14,78)T\left(\frac{1}{4}, \frac{7}{8}\right)

Određujemo znak funkcije. Kako je a>0 a > 0 i diskriminanta D<0, D < 0 , funkcija je pozitivna za sve realne brojeve.

y>0,∀x∈Ry > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Određujemo monotonost funkcije. Funkcija opada na intervalu do x-koordinate temena, a raste nakon nje.

y↘ za x∈(−∞,14),y↗ za x∈(14,+∞)y \searrow \text{ za } x \in \left(-\infty, \frac{1}{4}\right), \quad y \nearrow \text{ za } x \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)

Na osnovu dobijenih podataka (teme, presek sa y-osom, znak i monotonost) možemo skicirati grafik funkcije, koji predstavlja parabolu okrenutu otvorom nagore, smeštenu iznad x-ose.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti