1682.

285

TEKST ZADATKA

U krug poluprečnika R R upisati pravougaonik najveće površine.

REŠENJE ZADATKA

Neka su stranice upisanog pravougaonika a a i b. b . Dijagonala pravougaonika upisanog u krug jednaka je prečniku kruga, pa po Pitagorinoj teoremi važi:

a2+b2=(2R)2=4R2a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2

Izrazimo b2 b^2 preko a a i R: R :

b2=4R2−a2b^2 = 4R^2 - a^2

Površina pravougaonika je P=a⋅b. P = a \cdot b . Pošto su dužine stranica pozitivne, površina će biti maksimalna kada je i njen kvadrat maksimalan. Kvadrat površine je:

P2=a2⋅b2P^2 = a^2 \cdot b^2

Zamenimo izraz za b2 b^2 u jednačinu za kvadrat površine:

P2=a2(4R2−a2)=−a4+4R2a2P^2 = a^2(4R^2 - a^2) = -a^4 + 4R^2 a^2

Uvedimo smenu t=a2. t = a^2 . Dobijamo kvadratnu funkciju po promenljivoj t: t :

f(t)=−t2+4R2tf(t) = -t^2 + 4R^2 t

Kvadratna funkcija oblika y=At2+Bt+C y = At^2 + Bt + C za A<0 A < 0 dostiže maksimum za t=−B2A. t = -\frac{B}{2A} . U našem slučaju je A=−1 A = -1 i B=4R2, B = 4R^2 , pa računamo:

t=−4R22(−1)=2R2t = -\frac{4R^2}{2(-1)} = 2R^2

Vratimo smenu t=a2 t = a^2 da bismo našli stranicu a: a :

a2=2R2  ⟹  a=R2a^2 = 2R^2 \implies a = R\sqrt{2}

Sada računamo stranicu b: b :

b2=4R2−2R2=2R2  ⟹  b=R2b^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2 \implies b = R\sqrt{2}

Zaključujemo da je pravougaonik najveće površine upisan u krug zapravo kvadrat sa stranicom a=b=R2. a = b = R\sqrt{2} . Njegova maksimalna površina iznosi:

P=a⋅b=R2⋅R2=2R2P = a \cdot b = R\sqrt{2} \cdot R\sqrt{2} = 2R^2