1685.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

U kvadrat stranice a a upisati kvadrat najmanje površine.

REŠENJE ZADATKA

Neka su temena upisanog kvadrata tačke na stranicama polaznog kvadrata. Te tačke dele stranice polaznog kvadrata na duži dužina x x i a−x, a-x , gde je 0≤x≤a. 0 \le x \le a .

Površina upisanog kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. Stranicu upisanog kvadrata možemo izraziti preko Pitagorine teoreme primenjene na pravougli trougao čije su katete x x i a−x. a-x .

P(x)=x2+(a−x)2P(x) = x^2 + (a-x)^2

Kvadriramo izraz u zagradi i sređujemo jednačinu kako bismo dobili kvadratnu funkciju po x. x .

P(x)=x2+a2−2ax+x2=2x2−2ax+a2P(x) = x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 2x^2 - 2ax + a^2

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika y=Ax2+Bx+C, y = Ax^2 + Bx + C , gde su koeficijenti A=2, A = 2 , B=−2a B = -2a i C=a2. C = a^2 .

Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan (A=2>0 A = 2 > 0 ), funkcija dostiže svoj minimum u temenu parabole, za x=−B2A. x = -\frac{B}{2A} .

x=−−2a2⋅2x = -\frac{-2a}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost za x. x .

x=2a4=a2x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}

Zaključujemo da se kvadrat najmanje površine dobija kada se njegova temena nalaze na sredinama stranica polaznog kvadrata. Računamo tu minimalnu površinu uvrštavanjem x=a2 x = \frac{a}{2} u funkciju P(x). P(x) .

Pmin=2(a2)2−2a(a2)+a2P_{min} = 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2a\left(\frac{a}{2}\right) + a^2

Sređujemo izraz za minimalnu površinu.

Pmin=2⋅a24−a2+a2=a22P_{min} = 2 \cdot \frac{a^2}{4} - a^2 + a^2 = \frac{a^2}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti