1684.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Dat je jednakokraki trougao osnovice a a i visine h. h . Odrediti na visini koja odgovara osnovici tačku za koju će zbir kvadrata njenih rastojanja od sva tri temena biti najmanji.

REŠENJE ZADATKA

Neka su temena trougla A, A , B B i C, C , pri čemu je AB=a AB = a osnovica, a CD=h CD = h visina koja odgovara osnovici. Neka je M M tražena tačka na visini CD. CD .

Označimo rastojanje tačke M M od podnožja visine D D sa x, x , odnosno MD=x. MD = x . Tada je rastojanje tačke M M od temena C C jednako MC=h−x. MC = h - x .

Pošto se tačka M M nalazi na visini koja je ujedno i simetrala osnovice jednakokrakog trougla, rastojanja od M M do temena A A i B B su jednaka. Primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao △MDA \triangle MDA računamo kvadrat rastojanja:

MA2=MB2=MD2+AD2=x2+(a2)2=x2+a24MA^2 = MB^2 = MD^2 + AD^2 = x^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = x^2 + \frac{a^2}{4}

Zbir kvadrata rastojanja tačke M M od sva tri temena označimo sa S(x). S(x) . Tada je:

S(x)=MA2+MB2+MC2=2(x2+a24)+(h−x)2S(x) = MA^2 + MB^2 + MC^2 = 2\left(x^2 + \frac{a^2}{4}\right) + (h - x)^2

Sređivanjem ovog izraza dobijamo kvadratnu funkciju po x: x :

S(x)=2x2+a22+h2−2hx+x2=3x2−2hx+h2+a22S(x) = 2x^2 + \frac{a^2}{2} + h^2 - 2hx + x^2 = 3x^2 - 2hx + h^2 + \frac{a^2}{2}

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika y=Ax2+Bx+C, y = Ax^2 + Bx + C , gde je koeficijent uz kvadratni član A=3, A = 3 , linearni koeficijent B=−2h B = -2h i slobodan član C=h2+a22. C = h^2 + \frac{a^2}{2} . Pošto je A>0, A > 0 , funkcija dostiže svoj minimum u temenu parabole.

Vrednost x x za koju se dostiže minimum računamo po formuli za apscisu temena parabole x=−B2A: x = -\frac{B}{2A} :

x=−−2h2⋅3=2h6=h3x = -\frac{-2h}{2 \cdot 3} = \frac{2h}{6} = \frac{h}{3}

Dakle, zbir kvadrata rastojanja je najmanji kada se tačka M M nalazi na visini na rastojanju h3 \frac{h}{3} od osnovice trougla. (Ova tačka se poklapa sa težištem trougla).

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti