3065.

25.a

TEKST ZADATKA

Ispitati istinitosnu vrednost sledeće formule: (∃x)(x>1∧x<4). (\exists x)(x > 1 \land x < 4) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo značenje kvantifikatora i logičkog veznika u formuli. Formula (∃x) (\exists x) označava egzistencijalni kvantifikator, što znači da tražimo bar jednu vrednost promenljive x x za koju je tvrđenje tačno. Veznik ∧ \land predstavlja logičku konjunkciju (i), što znači da oba uslova moraju biti ispunjena istovremeno.

Zapisujemo uslov koji promenljiva x x treba da zadovolji kao sistem nejednačina:

{x>1x<4\begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases}

Ovaj sistem nejednačina definiše otvoren interval na realnoj pravoj:

x∈(1,4)x \in (1, 4)

Da bi formula bila tačna, dovoljno je pronaći bar jedan realan broj koji pripada ovom intervalu. Na primer, možemo uzeti broj x=2. x = 2 . Proveravamo uslove:

2>1∧2<4≡⊤∧⊤≡⊤2 > 1 \land 2 < 4 \equiv \top \land \top \equiv \top

Pošto smo pronašli bar jednu vrednost (npr. x=2, x = 2 , x=3 x = 3 ili x=2.5 x = 2.5 ) koja zadovoljava oba uslova, zaključujemo da je formula tačna.

τ((∃x)(x>1∧x<4))=⊤\tau((\exists x)(x > 1 \land x < 4)) = \top