3080.

28.v

TEKST ZADATKA

Ispitati tačnost formule u skupu prirodnih brojeva: (x)(y)(x>y) (\forall x)(\exists y)(x > y) ;


REŠENJE ZADATKA

Analiziramo značenje date formule. Formula tvrdi da za svaki prirodan broj x x postoji neki prirodan broj y y koji je strogo manji od njega.

(xN)(yN)(x>y)(\forall x \in \mathbb{N})(\exists y \in \mathbb{N}) (x > y)

Skup prirodnih brojeva počinje od broja 1, odnosno to je skup pozitivnih celih brojeva.

N={1,2,3,}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}

Da bismo dokazali da je tvrđenje netačno, dovoljno je pronaći jedan kontraprimer. Neka je x=1. x = 1 .

x=1x = 1

Zamenom u nejednakost dobijamo da mora postojati prirodan broj y y takav da važi:

1>y1 > y

Međutim, ne postoji prirodan broj koji je strogo manji od 1. Najmanji prirodan broj je upravo 1.

yNy \notin \mathbb{N}

Pošto smo pronašli vrednost za x x za koju ne postoji odgovarajuće y, y , zaključujemo da je data formula netačna (njen logički status je neistina).

τ((x)(y)(x>y))=\tau((\forall x)(\exists y)(x > y)) = \bot