4335.

676.b

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 2x+13x−2−2x−13−2x−4x2−3x+36x2−13x+6−1=0. \frac{2x+1}{3x-2} - \frac{2x-1}{3-2x} - \frac{4x^2-3x+3}{6x^2-13x+6} - 1 = 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo pronašli najmanji zajednički sadržalac. Primetimo da je 3−2x=−(2x−3). 3-2x = -(2x-3) . Zatim rastavljamo kvadratni trinom 6x2−13x+6. 6x^2-13x+6 .

6x2−13x+6=6x2−9x−4x+6=3x(2x−3)−2(2x−3)=(3x−2)(2x−3)6x^2-13x+6 = 6x^2-9x-4x+6 = 3x(2x-3)-2(2x-3) = (3x-2)(2x-3)

Sada jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku, vodeći računa o promeni znaka ispred drugog razlomka:

2x+13x−2+2x−12x−3−4x2−3x+3(3x−2)(2x−3)−1=0\frac{2x+1}{3x-2} + \frac{2x-1}{2x-3} - \frac{4x^2-3x+3}{(3x-2)(2x-3)} - 1 = 0

Definišemo uslove pod kojima je jednačina definisana (imenilac ne sme biti nula):

3x−2≠0  ⟹  x≠23i2x−3≠0  ⟹  x≠323x-2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} \quad \text{i} \quad 2x-3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem (3x−2)(2x−3): (3x-2)(2x-3) :

(2x+1)(2x−3)+(2x−1)(3x−2)−(4x2−3x+3)−(3x−2)(2x−3)=0(2x+1)(2x-3) + (2x-1)(3x-2) - (4x^2-3x+3) - (3x-2)(2x-3) = 0

Sređujemo izraz množenjem zagrada:

(4x2−6x+2x−3)+(6x2−4x−3x+2)−4x2+3x−3−(6x2−9x−4x+6)=0(4x^2 - 6x + 2x - 3) + (6x^2 - 4x - 3x + 2) - 4x^2 + 3x - 3 - (6x^2 - 9x - 4x + 6) = 0

Uprošćavamo izraz sabiranjem sličnih članova:

4x2−4x−3+6x2−7x+2−4x2+3x−3−6x2+13x−6=04x^2 - 4x - 3 + 6x^2 - 7x + 2 - 4x^2 + 3x - 3 - 6x^2 + 13x - 6 = 0

Nakon poništavanja članova uz x2 x^2 i sabiranja ostalih članova, dobijamo linearnu jednačinu:

5x−10=05x - 10 = 0

Rešavamo po x: x :

5x=10  ⟹  x=25x = 10 \implies x = 2

Proveravamo da li rešenje zadovoljava početne uslove. Pošto je 2≠23 2 \neq \frac{2}{3} i 2≠32, 2 \neq \frac{3}{2} , rešenje je validno.

x=2x = 2