4336.

675.d

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu:

\frac{x}{x+2} - \frac{5}{x+3} = \frac{10x}{x^2+5x+6} + rac{2}{x+2} + \frac{x}{x+3} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom u imeniocu na desnoj strani jednačine. Primetimo da je x2+5x+6=(x+2)(x+3). x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) .

x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)

Definišemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa imamo uslove:

x+2≠0  ⟹  x≠−2x+3≠0  ⟹  x≠−3x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \\ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3

Sredimo jednačinu tako što ćemo sve članove prebaciti na levu stranu i grupisati one sa istim imeniocima radi lakšeg računanja.

xx+2−2x+2−5x+3−xx+3−10x(x+2)(x+3)=0\frac{x}{x+2} - \frac{2}{x+2} - \frac{5}{x+3} - \frac{x}{x+3} - \frac{10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Saberemo razlomke sa istim imeniocima:

x−2x+2−5+xx+3−10x(x+2)(x+3)=0\frac{x-2}{x+2} - \frac{5+x}{x+3} - \frac{10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Svedemo sve na zajednički imenilac (x+2)(x+3): (x+2)(x+3) :

(x−2)(x+3)−(x+5)(x+2)−10x(x+2)(x+3)=0\frac{(x-2)(x+3) - (x+5)(x+2) - 10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Oslobodimo se razlomka (uz uslove domena) i sredimo brojilac:

(x2+3x−2x−6)−(x2+2x+5x+10)−10x=0(x^2 + 3x - 2x - 6) - (x^2 + 2x + 5x + 10) - 10x = 0

Uprošćavamo izraz:

x2+x−6−(x2+7x+10)−10x=0x2+x−6−x2−7x−10−10x=0x^2 + x - 6 - (x^2 + 7x + 10) - 10x = 0 \\ x^2 + x - 6 - x^2 - 7x - 10 - 10x = 0

Sređivanjem dobijamo linearnu jednačinu:

−16x−16=0-16x - 16 = 0

Rešavamo po x: x :

−16x=16x=−1-16x = 16 \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je −1≠−2 -1 \neq -2 i −1≠−3, -1 \neq -3 , rešenje je validno.

x=−1x = -1