4340.

677.a

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 1+5(v−3)(v+2)=−1v+2 1 + \frac{5}{(v-3)(v+2)} = -\frac{1}{v+2}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Imenilac ne sme biti nula, pa postavljamo uslove:

v−3≠0  ⟹  v≠3v+2≠0  ⟹  v≠−2v - 3 \neq 0 \implies v \neq 3 \\ v + 2 \neq 0 \implies v \neq -2

Domen jednačine je skup svih realnih brojeva osim 3 3 i −2: -2 :

D=R∖{−2,3}D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce, a to je (v−3)(v+2): (v-3)(v+2) :

1⋅(v−3)(v+2)+5=−1⋅(v−3)1 \cdot (v-3)(v+2) + 5 = -1 \cdot (v-3)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine množenjem zagrada:

(v2+2v−3v−6)+5=−v+3v2−v−1=−v+3(v^2 + 2v - 3v - 6) + 5 = -v + 3 \\ v^2 - v - 1 = -v + 3

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

v2−v+v−1−3=0v2−4=0v^2 - v + v - 1 - 3 = 0 \\ v^2 - 4 = 0

Rešavamo dobijenu nepotpunu kvadratnu jednačinu:

v2=4v=±4v1=2,v2=−2v^2 = 4 \\ v = \pm \sqrt{4} \\ v_1 = 2, \quad v_2 = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu D=R∖{−2,3}. D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} . Vidimo da rešenje v=−2 v = -2 nije dozvoljeno jer bi imenilac bio nula.

v1=2∈Dv2=−2∉Dv_1 = 2 \in D \\ v_2 = -2 \notin D

Jedino validno rešenje jednačine je:

v=2v = 2