4345.

676.a

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 2x+195x2−5−17x2−1−31−x=0 \frac{2x+19}{5x^2-5} - \frac{17}{x^2-1} - \frac{3}{1-x} = 0

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo odredili domen i zajednički imenilac. Koristimo razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) i izvlačenje zajedničkog ispred zagrade.

5x2−5=5(x2−1)=5(x−1)(x+1)x2−1=(x−1)(x+1)1−x=−(x−1)5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1) = 5(x-1)(x+1) \\ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \\ 1-x = -(x-1)

Definišemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

x−1≠0  ⟹  x≠1x+1≠0  ⟹  x≠−1D=R∖{−1,1}x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \\ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Sređujemo znake u jednačini i zamenjujemo rastavljene oblike. Primetimo da je −31−x=+3x−1. -\frac{3}{1-x} = +\frac{3}{x-1} .

2x+195(x−1)(x+1)−17(x−1)(x+1)+3x−1=0\frac{2x+19}{5(x-1)(x+1)} - \frac{17}{(x-1)(x+1)} + \frac{3}{x-1} = 0

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem 5(x−1)(x+1) 5(x-1)(x+1) kako bismo se oslobodili razlomaka.

(2x+19)−17⋅5+3⋅5(x+1)=0(2x+19) - 17 \cdot 5 + 3 \cdot 5(x+1) = 0

Sređujemo dobijeni linearni izraz.

2x+19−85+15(x+1)=02x−66+15x+15=017x−51=02x + 19 - 85 + 15(x+1) = 0 \\ 2x - 66 + 15x + 15 = 0 \\ 17x - 51 = 0

Rešavamo linearnu jednačinu po x. x .

17x=51x=5117x=317x = 51 \\ x = \frac{51}{17} \\ x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je 3∈D, 3 \in D , rešenje je validno.

x=3x = 3