4008.

612.ž

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma:

P1(x)=x3−3x2+2x,P2(x)=x3+3x2+2x,P3(x)=x3−xP_1(x) = x^3 - 3x^2 + 2x, \quad P_2(x) = x^3 + 3x^2 + 2x, \quad P_3(x) = x^3 - x
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo prvi polinom P1(x) P_1(x) na činioce. Najpre izvlačimo zajednički član x, x , a zatim rastavljamo kvadratni trinom.

P1(x)=x(x2−3x+2)=x(x2−x−2x+2)=x(x(x−1)−2(x−1))=x(x−1)(x−2)P_1(x) = x(x^2 - 3x + 2) = x(x^2 - x - 2x + 2) = x(x(x - 1) - 2(x - 1)) = x(x - 1)(x - 2)

Zatim rastavljamo drugi polinom P2(x) P_2(x) na činioce na sličan način.

P2(x)=x(x2+3x+2)=x(x2+x+2x+2)=x(x(x+1)+2(x+1))=x(x+1)(x+2)P_2(x) = x(x^2 + 3x + 2) = x(x^2 + x + 2x + 2) = x(x(x + 1) + 2(x + 1)) = x(x + 1)(x + 2)

Rastavljamo treći polinom P3(x) P_3(x) koristeći formulu za razliku kvadrata.

P3(x)=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)P_3(x) = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Sada upoređujemo rastavljene oblike sva tri polinoma kako bismo pronašli zajedničke činioce:

P1(x)=x(x−1)(x−2)P2(x)=x(x+1)(x+2)P3(x)=x(x−1)(x+1)\begin{aligned} P_1(x) &= x(x - 1)(x - 2) \\ P_2(x) &= x(x + 1)(x + 2) \\ P_3(x) &= x(x - 1)(x + 1) \end{aligned}

Najveći zajednički delilac (NZD) je proizvod činilaca koji se pojavljuju u sva tri polinoma sa najmanjim eksponentom. U ovom slučaju, jedini zajednički činilac za sva tri polinoma je x. x .

NZD(P1,P2,P3)=x\text{NZD}(P_1, P_2, P_3) = x