4035.

616.g

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) polinoma: 4x4−8x3+4x2 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 i 3x3+6x2+3x. 3x^3 + 6x^2 + 3x .

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS je rastavljanje svakog polinoma na proste činioce. Rastavljamo prvi polinom izvlačenjem zajedničkog člana ispred zagrade.

P1(x)=4x4−8x3+4x2=4x2(x2−2x+1)P_1(x) = 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 = 4x^2(x^2 - 2x + 1)

Primećujemo da je izraz u zagradi kvadrat binoma (a−b)2=a2−2ab+b2. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 . Dalje rastavljamo prvi polinom.

P1(x)=4x2(x−1)2=22⋅x2⋅(x−1)2P_1(x) = 4x^2(x - 1)^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot (x - 1)^2

Sada rastavljamo drugi polinom izvlačenjem zajedničkog člana ispred zagrade.

P2(x)=3x3+6x2+3x=3x(x2+2x+1)P_2(x) = 3x^3 + 6x^2 + 3x = 3x(x^2 + 2x + 1)

Izraz u zagradi drugog polinoma je kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

P2(x)=3x(x+1)2P_2(x) = 3x(x + 1)^2

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) dobijamo tako što uzmemo sve različite činioce koji se pojavljuju u oba polinoma, sa njihovim najvećim stepenima.

NZS(P1,P2)=NZS(22x2(x−1)2,3x(x+1)2)\text{NZS}(P_1, P_2) = \text{NZS}(2^2 x^2 (x-1)^2, 3x(x+1)^2)

Kombinovanjem koeficijenata i faktora sa najvećim eksponentima, dobijamo konačan rezultat.

NZS=12x2(x−1)2(x+1)2\text{NZS} = 12x^2(x - 1)^2(x + 1)^2