4257.

644.v

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz i navesti uslove definisanosti:

a2+ax2x(a2−x2)⋅[(a+x)24ax−1]\frac{a^2+ax}{2x(a^2-x^2)} \cdot \left[ \frac{(a+x)^2}{4ax} - 1 \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je izraz definisan. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

2x(a2−x2)≠0i4ax≠02x(a^2-x^2) \neq 0 \quad \text{i} \quad 4ax \neq 0

Iz ovoga dobijamo uslove definisanosti:

x≠0,a≠0,x≠a,x≠−ax \neq 0, \quad a \neq 0, \quad x \neq a, \quad x \neq -a

Rastavljamo brojilac i imenilac prvog razlomka na činioce kako bismo ga skratili.

a(a+x)2x(a−x)(a+x)⋅[(a+x)24ax−1]\frac{a(a+x)}{2x(a-x)(a+x)} \cdot \left[ \frac{(a+x)^2}{4ax} - 1 \right]

Skraćujemo prvi razlomak sa a+x a+x (što je dozvoljeno jer je prema uslovima x≠−a x \neq -a ).

a2x(a−x)⋅[(a+x)24ax−1]\frac{a}{2x(a-x)} \cdot \left[ \frac{(a+x)^2}{4ax} - 1 \right]

Svodimo izraz u srednjoj zagradi na zajednički imenilac.

a2x(a−x)⋅(a+x)2−4ax4ax\frac{a}{2x(a-x)} \cdot \frac{(a+x)^2 - 4ax}{4ax}

Kvadrat binoma u brojiocu drugog razlomka razvijamo po formuli (a+x)2=a2+2ax+x2. (a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2 .

a2x(a−x)⋅a2+2ax+x2−4ax4ax\frac{a}{2x(a-x)} \cdot \frac{a^2 + 2ax + x^2 - 4ax}{4ax}

Sređujemo brojilac drugog razlomka.

a2x(a−x)⋅a2−2ax+x24ax\frac{a}{2x(a-x)} \cdot \frac{a^2 - 2ax + x^2}{4ax}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu drugog razlomka: a2−2ax+x2=(a−x)2. a^2 - 2ax + x^2 = (a-x)^2 .

a2x(a−x)⋅(a−x)24ax\frac{a}{2x(a-x)} \cdot \frac{(a-x)^2}{4ax}

Množimo ova dva razlomka i skraćujemo zajedničke činioce a a i a−x. a-x .

a⋅(a−x)22x(a−x)⋅4ax=a−x8x2\frac{a \cdot (a-x)^2}{2x(a-x) \cdot 4ax} = \frac{a-x}{8x^2}