2719.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti period funkcije: f(x)=sin⁡3x7+cos⁡x3+tg2x5 f(x) = \sin \frac{3x}{7} + \cos \frac{x}{3} + \text{tg} \frac{2x}{5}

REŠENJE ZADATKA

Period zbira funkcija jednak je najmanjem zajedničkom sadržaocu (NZS) pojedinačnih perioda sabiraka. Prvo računamo periode za svaku funkciju ponaosob koristeći formule za osnovne periode sinusne, kosinusne i tangentne funkcije.

Računamo period prve funkcije f1(x)=sin⁡3x7. f_1(x) = \sin \frac{3x}{7} . Koristimo formulu T=2π∣a∣ T = \frac{2\pi}{|a|} gde je a a koeficijent uz x. x .

T1=2π37=14π3T_1 = \frac{2\pi}{\frac{3}{7}} = \frac{14\pi}{3}

Računamo period druge funkcije f2(x)=cos⁡x3. f_2(x) = \cos \frac{x}{3} . Koristimo istu formulu za kosinusnu funkciju.

T2=2π13=6πT_2 = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi

Računamo period treće funkcije f3(x)=tg2x5. f_3(x) = \text{tg} \frac{2x}{5} . Osnovni period za tangens je π, \pi , pa koristimo formulu T=π∣a∣. T = \frac{\pi}{|a|} .

T3=π25=5π2T_3 = \frac{\pi}{\frac{2}{5}} = \frac{5\pi}{2}

Sada tražimo najmanji zajednički sadržalac za dobijene periode. Da bismo lakše našli NZS razlomaka, svedimo ih na zajednički imenilac.

T1=14π3=28π6,T2=36π6,T3=15π6T_1 = \frac{14\pi}{3} = \frac{28\pi}{6}, \quad T_2 = \frac{36\pi}{6}, \quad T_3 = \frac{15\pi}{6}

Period funkcije f(x) f(x) je NZS brojeva u brojiocu podeljen sa zajedničkim imeniocem.

T=NZS(28,36,15)⋅π6T = \frac{\text{NZS}(28, 36, 15) \cdot \pi}{6}

Računamo NZS za brojeve 28, 36 i 15. Rastavljanjem na proste činioce dobijamo: 28=22⋅7, 28 = 2^2 \cdot 7 , 36=22⋅32, 36 = 2^2 \cdot 3^2 , 15=3⋅5. 15 = 3 \cdot 5 . NZS je 22⋅32⋅5⋅7=1260. 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260 .

T=1260π6=210πT = \frac{1260\pi}{6} = 210\pi

Konačni period funkcije je:

T=210πT = 210\pi

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti