2718. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prvi korak u pronalaženju ekstremnih vrednosti je određivanje prvog izvoda funkcije.

f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x

Stacionarne tačke nalazimo iz uslova da je prvi izvod jednak nuli.

\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x

Deljenjem jednačine sa $\cos x$ (uz uslov $\cos x \neq 0$ ) dobijamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Da bismo odredili prirodu ekstremnih vrednosti, računamo drugi izvod funkcije.

f''(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x

Ispitujemo znak drugog izvoda za karakteristične tačke u jednom periodu, na primer za $k=0$ i $k=1 .$

f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0

Pošto je drugi izvod negativan, funkcija u toj tački dostiže lokalni maksimum. Računamo vrednost maksimuma.

f_{max} = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Ispitujemo drugu tačku za $k=1 ,$ odnosno $x = \frac{5\pi}{4} .$

f''\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\frac{5\pi}{4} - \cos\frac{5\pi}{4} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} > 0

Pošto je drugi izvod pozitivan, funkcija u toj tački dostiže lokalni minimum. Računamo vrednost minimuma.

f_{min} = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\frac{5\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}

Zaključujemo da funkcija ima maksimum i minimum koji se periodično ponavljaju.

f_{max} = \sqrt{2} \text{ za } x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad f_{min} = -\sqrt{2} \text{ za } x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi

2718.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija