4422. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Neka je dužina ivice pravilnog tetraedra jednaka $a .$ Ugao između ivice $AD$ i strane $ABC$ je ugao između ivice $AD$ i njene ortogonalne projekcije na ravan $ABC .$

Neka je tačka $D'$ ortogonalna projekcija temena $D$ na ravan $ABC .$ Pošto je tetraedar pravilan, tačka $D'$ je centar opisanog kruga jednakostraničnog trougla $ABC .$

Traženi ugao je $\angle DAD' = \alpha .$ Posmatramo pravougli trougao $\triangle AD'D$ sa pravim uglom kod temena $D' .$

Hipotenuza ovog trougla je ivica tetraedra $AD = a .$ Kateta $AD'$ je poluprečnik opisanog kruga oko osnove $ABC ,$ koji se računa po formuli:

AD' = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Kosinus ugla $\alpha$ predstavlja odnos nalegle katete i hipotenuze:

\cos \alpha = \frac{AD'}{AD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ računamo sinus ugla $\alpha :$

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}

Sređivanjem izraza dobijamo vrednost sinusa:

\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Tangens ugla računamo kao količnik sinusa i kosinusa:

\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}

Kotangens ugla je recipročna vrednost tangensa:

\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

882.b