4420. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Neka je ivica pravilnog tetraedra $a .$ Ugao između strana $ABC$ i $ACD$ je ugao između njihovih visina koje odgovaraju zajedničkoj ivici $AC .$

Neka je $M$ središte ivice $AC .$ Tada su $BM$ i $DM$ visine jednakostraničnih trouglova $ABC$ i $ACD .$

Dužine ovih visina su:

BM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Neka je $H$ podnožje visine iz temena $D$ na osnovu $ABC .$ Tačka $H$ je težište jednakostraničnog trougla $ABC .$

Udaljenost težišta $H$ od ivice $AC ,$ odnosno dužina duži $HM ,$ jednaka je trećini visine $BM .$

HM = \frac{1}{3} BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}

Posmatrajmo pravougli trougao $\triangle DHM .$ Ugao $\angle DMH$ je traženi ugao $\alpha$ između strana tetraedra.

Kosinus ugla $\alpha$ računamo kao odnos nalegle katete i hipotenuze:

\cos \alpha = \frac{HM}{DM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet, računamo sinus ugla $\alpha :$

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Tangens ugla računamo kao odnos sinusa i kosinusa:

\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}

Kotangens ugla je recipročna vrednost tangensa:

\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

882.a