PrethodniSledeći
4453.

890.g

TEKST ZADATKA

Ako su α,β \alpha, \beta i γ \gamma uglovi trougla onda je: ctgα+β2=tgγ2. \text{ctg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg} \frac{\gamma}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Zbir uglova u trouglu iznosi 180∘. 180^\circ .

α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Izrazimo zbir uglova α \alpha i β \beta preko ugla γ. \gamma .

α+β=180∘−γ\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma

Podelimo dobijenu jednakost sa 2. 2 .

α+β2=180∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2}

Sredimo desnu stranu jednakosti.

α+β2=90∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}

Primenimo funkciju kotangens na obe strane jednakosti.

ctgα+β2=ctg(90∘−γ2)\text{ctg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg} \left( 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \right)

Na osnovu trigonometrijskih funkcija komplementarnih uglova važi ctg(90∘−x)=tgx, \text{ctg}(90^\circ - x) = \text{tg} x , pa primenom tog pravila dobijamo konačan izraz čime je dokaz završen.

ctgα+β2=tgγ2\text{ctg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg} \frac{\gamma}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu