PrethodniSledeći
4457.

890.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da ako su α,β \alpha, \beta i γ \gamma uglovi trougla, onda važi:

tgα+β2=ctgγ2\text{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}
REŠENJE ZADATKA

Zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu iznosi 180∘. 180^\circ .

α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Izrazimo zbir uglova α+β \alpha + \beta preko ugla γ. \gamma .

α+β=180∘−γ\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma

Podelimo dobijenu jednakost sa 2. 2 .

α+β2=180∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2}

Sredimo desnu stranu jednakosti tako što ćemo razdvojiti razlomak.

α+β2=180∘2−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} - \frac{\gamma}{2}

Nakon skraćivanja dobijamo sledeći izraz.

α+β2=90∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}

Primenimo funkciju tangens na obe strane jednakosti.

tgα+β2=tg(90∘−γ2)\text{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg} \left( 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \right)

Na osnovu osobina trigonometrijskih funkcija komplementarnih uglova važi da je tg(90∘−x)=ctgx. \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg} x . Primenom ovog pravila za x=γ2 x = \frac{\gamma}{2} dobijamo konačan dokaz.

tgα+β2=ctgγ2\text{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu