2099.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡6x+cos⁡6x+3sin⁡2xcos⁡2x\sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x
REŠENJE ZADATKA

Prva dva člana izraza možemo zapisati kao zbir kubova. Posmatraćemo ih kao kubove kvadrata trigonometrijskih funkcija:

sin⁡6x+cos⁡6x=(sin⁡2x)3+(cos⁡2x)3\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3

Podsetimo se algebarskog identiteta za zbir kubova. On se može lako izvesti iz formule za kub binoma (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 grupisanjem članova:

a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)

Primenjujemo ovaj identitet na naš izraz, uzimajući da je a=sin⁡2x a = \sin^2 x i b=cos⁡2x: b = \cos^2 x :

(sin⁡2x)3+(cos⁡2x)3=(sin⁡2x+cos⁡2x)3−3sin⁡2xcos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)

Znamo da važi osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Zamenjujemo vrednost 1 1 u izraz dobijen u prethodnom koraku:

sin⁡6x+cos⁡6x=13−3sin⁡2xcos⁡2x⋅1=1−3sin⁡2xcos⁡2x\sin^6 x + \cos^6 x = 1^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x \cdot 1 = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Sada vraćamo ovaj pojednostavljeni oblik u početni izraz zadatka:

(1−3sin⁡2xcos⁡2x)+3sin⁡2xcos⁡2x(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x) + 3 \sin^2 x \cos^2 x

Kada se skrate suprotni članovi −3sin⁡2xcos⁡2x -3\sin^2 x \cos^2 x i 3sin⁡2xcos⁡2x, 3\sin^2 x \cos^2 x , dobijamo konačan rezultat:

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti