2100.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡2αsec⁡2α−1+cos⁡2αcosec2α−1\frac{\sin^2 \alpha}{\sec^2 \alpha - 1} + \frac{\cos^2 \alpha}{\text{cosec}^2 \alpha - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo se podsetiti osnovnih trigonometrijskih identiteta za sekans i kosekans. Sekans je recipročna vrednost kosinusa, a kosekans recipročna vrednost sinusa.

sec⁡α=1cos⁡α,cosecα=1sin⁡α\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \text{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}

Sada ćemo izraziti imenioce preko sinusa i kosinusa. Krenimo od prvog imenioca sec⁡2α−1. \sec^2 \alpha - 1 .

sec⁡2α−1=1cos⁡2α−1=1−cos⁡2αcos⁡2α\sec^2 \alpha - 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , znamo da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α. 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha . Time dobijamo definiciju za tangens na kvadrat.

sec⁡2α−1=sin⁡2αcos⁡2α=tg⁡2α\sec^2 \alpha - 1 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha

Slično, transformišemo i drugi imenilac cosec2α−1. \text{cosec}^2 \alpha - 1 .

cosec2α−1=1sin⁡2α−1=1−sin⁡2αsin⁡2α\text{cosec}^2 \alpha - 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Ponovo primenjujemo osnovni identitet, gde je 1−sin⁡2α=cos⁡2α, 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha , i dobijamo definiciju za kotangens na kvadrat.

cosec2α−1=cos⁡2αsin⁡2α=ctg⁡2α\text{cosec}^2 \alpha - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha

Sada vraćamo dobijene izraze za imenioce u početni zadatak.

sin⁡2αtg⁡2α+cos⁡2αctg⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\tg^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha}

Zamenjujemo tangens i kotangens njihovim definicijama preko sinusa i kosinusa kako bismo uprostili dvojne razlomke.

sin⁡2αsin⁡2αcos⁡2α+cos⁡2αcos⁡2αsin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \frac{\cos^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}

Rešavamo dvojne razlomke. U prvom sabirku se krati sin⁡2α, \sin^2 \alpha , a u drugom cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α+sin⁡2α\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha

Na kraju, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet i dobijamo konačan rezultat.

cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti