4557. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka je dužina duži $AB$ i $CD$ jednaka $x .$ Kako su duži podudarne, važi:

AB = CD = x

Neka se duži nalaze na istoj pravoj i neka je redosled tačaka $A ,$ $C ,$ $B ,$ $D .$ Deo kojim se duži pokrivaju je duž $CB .$

Prema uslovu zadatka, dužina preklapanja je trećina dužine duži:

CB = \frac{1}{3}x

Neka je tačka $M_1$ središte duži $AB ,$ a tačka $M_2$ središte duži $CD .$

Rastojanje od početne tačke $A$ do središta $M_1$ je polovina dužine duži $AB :$

AM_1 = \frac{1}{2}x

Da bismo odredili poziciju središta $M_2 ,$ prvo računamo rastojanje tačke $C$ od tačke $A :$

AC = AB - CB = x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x

Središte $M_2$ polovi duž $CD ,$ pa je rastojanje od $C$ do $M_2$ jednako $\frac{1}{2}x .$ Ukupno rastojanje od $A$ do $M_2$ je:

AM_2 = AC + CM_2 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x = \frac{4}{6}x + \frac{3}{6}x = \frac{7}{6}x

Odstojanje između središta $M_1$ i $M_2$ dobijamo kao razliku njihovih rastojanja od tačke $A :$

M_1M_2 = AM_2 - AM_1 = \frac{7}{6}x - \frac{1}{2}x = \frac{7}{6}x - \frac{3}{6}x = \frac{4}{6}x = \frac{2}{3}x

Kako je zadato da je odstojanje između središta $20\text{ cm} ,$ postavljamo jednačinu:

\frac{2}{3}x = 20

Rešavanjem jednačine računamo dužinu duži $x :$

x = 20 \cdot \frac{3}{2}

x = 30\text{ cm}

Dužina duži $AB$ i $CD$ iznosi $30\text{ cm} .$

344