4559. Podudarnost duži, uglova i trouglova

Neka je dužina podudarnih duži $AB$ i $CD$ jednaka $x .$

AB = CD = x

Pošto se duži pokrivaju jednom trećinom svoje dužine, dužina zajedničkog dela (neka to bude duž $CB$ ) je $\frac{x}{3} .$

CB = \frac{x}{3}

Pretpostavimo da su tačke raspoređene na pravoj u redosledu $A, C, B, D .$ Tada je dužina dela duži $AB$ koji se ne preklapa sa $CD$ jednaka $AC .$

AC = AB - CB = x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}

Slično, deo duži $CD$ koji se ne preklapa sa $AB$ je duž $BD .$

BD = CD - CB = x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}

Neka je tačka $M$ središte duži $AB ,$ a tačka $N$ središte duži $CD .$ Tada su rastojanja od krajeva duži do njihovih središta:

AM = MB = \frac{x}{2}, \quad CN = ND = \frac{x}{2}

Odredimo poziciju tačke $M$ u odnosu na $C .$ Pošto je $AC = \frac{2x}{3}$ i $AM = \frac{x}{2} ,$ tačka $M$ se nalazi između $A$ i $C .$ Rastojanje $MC$ je:

MC = AC - AM = \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x}{6}

Odredimo poziciju tačke $N$ u odnosu na $B .$ Pošto je $BD = \frac{2x}{3}$ i $ND = \frac{x}{2} ,$ tačka $N$ se nalazi između $B$ i $D .$ Rastojanje $BN$ je:

BN = BD - ND = \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x}{6}

Sada možemo izraziti ukupno rastojanje između središta $M$ i $N$ kao zbir dužina segmenata $MC ,$ $CB$ i $BN :$

MN = MC + CB + BN = \frac{x}{6} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6}

Sređivanjem ovog izraza dobijamo:

MN = \frac{x}{6} + \frac{2x}{6} + \frac{x}{6} = \frac{4x}{6} = \frac{2x}{3}

Prema uslovu zadatka, rastojanje između središta je $20 \text{ cm} .$ Izjednačavamo dobijeni izraz sa $20 :$

\frac{2x}{3} = 20

Množenjem jednačine sa $3$ dobijamo:

2x = 60

Deljenjem sa $2$ računamo vrednost za $x :$

x = 30

344