PrethodniSledeći
4587.

367

TEKST ZADATKA

U jednakokrakom trouglu ABC ABC osnovica AB AB je jednaka polovini kraka. Neka je M M središte kraka BC BC a N N presek prave kroz M M paralelne sa AB AB i kraka AC. AC . Dokazati da je prava AM AM simetrala ugla BMN. BMN .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je AB AB osnovica jednakokrakog trougla, BC BC je jedan njegov krak. Uslov da je osnovica jednaka polovini kraka daje AB=BC2. AB=\frac{BC}{2} . Tačka M M je središte duži BC, BC , pa je i BM=BC2. BM=\frac{BC}{2} . Zato je AB=BM. AB=BM .

AB=BC2,BM=BC2⟹AB=BMAB=\frac{BC}{2},\qquad BM=\frac{BC}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad AB=BM

Uporedimo trouglove ABM ABM i MBA. MBA . Važi AB=BM, AB=BM , zatim BM=BA BM=BA zbog iste jednakosti, a AM=MA AM=MA je zajednička stranica. Zato su trouglovi podudarni po III stavu (SSS), pri korespondenciji A↔M, A\leftrightarrow M , B↔B, B\leftrightarrow B , M↔A. M\leftrightarrow A .

AB=BM,BM=BA,AM=MA⟹△ABM≅△MBAAB=BM,\quad BM=BA,\quad AM=MA\quad\Longrightarrow\quad\triangle ABM\cong\triangle MBA

Odgovarajući uglovi podudarnih trouglova su jednaki. Temenu A A prvog trougla odgovara teme M M drugog, pa dobijamo jednakost uglova uz osnovicu AM AM trougla ABM. ABM .

∠BAM=∠BMA\angle BAM=\angle BMA

Po konstrukciji je MN∥AB, MN\parallel AB , a AM AM je transverzala tih pravih. Zato su odgovarajući uglovi koje ona gradi sa paralelnim pravama jednaki: ugao između AM AM i AB AB jednak je uglu između AM AM i MN. MN .

MN∥AB⟹∠BAM=∠AMNMN\parallel AB\quad\Longrightarrow\quad \angle BAM=\angle AMN

Spajanjem dobijenih jednakosti sledi ∠BMA=∠AMN. \angle BMA=\angle AMN . Prava AM AM zato deli ugao BMN BMN na dva jednaka ugla, pa je ona njegova simetrala.

∠BMA=∠BAM=∠AMN⟹AM je simetrala ugla BMN\angle BMA=\angle BAM=\angle AMN\quad\Longrightarrow\quad AM\text{ je simetrala ugla }BMN

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu