PrethodniSledeći
4601.

368

TEKST ZADATKA

Duž AB AB pripada simetrali duži MN MN (slika). Dokazati da je ∠AMB=∠ANB. \angle AMB=\angle ANB . Tačke A i B leže na simetrali duži MN, sa tačkom A iznad duži MN i tačkom B ispod nje. Duž MN je horizontalna, M je njen levi, a N desni kraj; prava AB je vertikalna, normalna na MN i seče je u sredini. Nacrtane su duži AM, AN, BM i BN, koje obrazuju četvorougao MANB simetričan u odnosu na pravu AB. Lukovima su označeni uglovi AMB i ANB, bez zadatih brojčanih mera.

REŠENJE ZADATKA

Neka je O=AB∩MN. O=AB\cap MN . Pošto duž AB AB pripada simetrali duži MN, MN , prava AB AB seče MN MN u njenom središtu i normalna je na nju. Zato je OM=ON OM=ON i AO⊥MN AO\perp MN ; presek je jedinstven jer se normalne prave ne mogu poklapati.

O=AB∩MN,OM=ON,AB⊥MNO=AB\cap MN,\qquad OM=ON,\qquad AB\perp MN

U trouglovima AOM AOM i AON AON važi AO=AO, AO=AO , OM=ON OM=ON i ∠AOM=∠AON=90∘. \angle AOM=\angle AON=90^\circ . Uglovi su jednaki iako su poluprave OM OM i ON ON suprotnog smera, jer je AO AO normalna na celu pravu MN. MN . Zato su trouglovi podudarni po stavu SUS, pa je AM=AN. AM=AN .

AO=AO,∠AOM=∠AON=90∘,OM=ON⟹AM=ANAO=AO,\quad \angle AOM=\angle AON=90^\circ,\quad OM=ON\quad\Longrightarrow\quad AM=AN

Slično, u trouglovima BOM BOM i BON BON imamo BO=BO, BO=BO , OM=ON OM=ON i ∠BOM=∠BON=90∘. \angle BOM=\angle BON=90^\circ . Po stavu SUS ovi trouglovi su podudarni, pa je BM=BN. BM=BN .

BO=BO,∠BOM=∠BON=90∘,OM=ON⟹BM=BNBO=BO,\quad \angle BOM=\angle BON=90^\circ,\quad OM=ON\quad\Longrightarrow\quad BM=BN

Sada trouglovi AMB AMB i ANB ANB imaju AM=AN, AM=AN , BM=BN BM=BN i zajedničku stranicu AB=AB. AB=AB . Zato su podudarni po stavu SSS, pri korespondenciji A↔A, A\leftrightarrow A , M↔N, M\leftrightarrow N , B↔B. B\leftrightarrow B . Odgovarajući uglovi kod temena M M i N N zato su jednaki.

△AMB≅△ANB⟹∠AMB=∠ANB\triangle AMB\cong\triangle ANB\quad\Longrightarrow\quad \angle AMB=\angle ANB

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu