4002.

605.g

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve a, a , b b i c c tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: A(x)=6x3−23x2+29x−12 A(x) = 6x^3 - 23x^2 + 29x - 12 i B(x)=(x−1)(ax2+bx+c) B(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c) ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati isti kanonski oblik. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu B(x) B(x) kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x)=x(ax2+bx+c)−1(ax2+bx+c)B(x) = x(ax^2 + bx + c) - 1(ax^2 + bx + c)

Množenjem dobijamo sledeći izraz:

B(x)=ax3+bx2+cx−ax2−bx−cB(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive x: x :

B(x)=ax3+(b−a)x2+(c−b)x−cB(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma A(x)=6x3−23x2+29x−12 A(x) = 6x^3 - 23x^2 + 29x - 12 i B(x). B(x) .

{a=6b−a=−23c−b=29−c=−12\begin{cases} a = 6 \\ b - a = -23 \\ c - b = 29 \\ -c = -12 \end{cases}

Iz prve i četvrte jednačine direktno dobijamo vrednosti za a a i c. c .

a=6,c=12a = 6, \quad c = 12

Zamenjujemo vrednost a a u drugu jednačinu da bismo odredili b. b .

b−6=−23  ⟹  b=−17b - 6 = -23 \implies b = -17

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom u treću jednačinu.

12−(−17)=12+17=2912 - (-17) = 12 + 17 = 29

Pošto je jednakost tačna, traženi realni brojevi su:

a=6,b=−17,c=12a = 6, \quad b = -17, \quad c = 12