4003. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Koristeći Bezuovu teoremu, rastaviti na činioce polinom: $p(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je $p(a) = 0 ,$ tada je polinom $p(x)$ deljiv sa $x - a .$ Cele korene polinoma tražimo među deliocima slobodnog člana, koji iznosi $24 .$

Delioci broja $24$ su:

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24

Proveravamo da li je $x = 1$ koren polinoma:

p(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 13 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 + 24 = 1 - 2 - 13 + 14 + 24 = 24 \neq 0

Pošto $1$ nije koren, proveravamo da li je $x = -1$ koren polinoma:

p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 13(-1)^2 + 14(-1) + 24 = 1 + 2 - 13 - 14 + 24 = 0

Pošto je $p(-1) = 0 ,$ polinom je deljiv sa $x - (-1) ,$ odnosno sa $x + 1 .$ Delimo polinom $p(x)$ sa $x + 1 :$

(x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24) : (x + 1) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x) = (x + 1)(x^3 - 3x^2 - 10x + 24)

Dalje rastavljamo dobijeni količnik, polinom trećeg stepena $q_1(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24 .$ Proveravamo njegove korene među deliocima broja $24 .$ Testiramo $x = 2 :$

q_1(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 10 \cdot 2 + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0

Pošto je $q_1(2) = 0 ,$ polinom $q_1(x)$ je deljiv sa $x - 2 .$ Delimo polinom $q_1(x)$ sa $x - 2 :$

(x^3 - 3x^2 - 10x + 24) : (x - 2) = x^2 - x - 12

Sada početni polinom možemo zapisati kao:

p(x) = (x + 1)(x - 2)(x^2 - x - 12)

Ostalo je da rastavimo kvadratni trinom $x^2 - x - 12 .$ Možemo ga rastaviti grupisanjem članova:

x^2 - x - 12 = x^2 - 4x + 3x - 12 = x(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x + 3)

Konačan oblik polinoma rastavljenog na činioce je:

p(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4)

607.g