3365. Prosti brojevi i rastavljanje na proste činioce

TEKST ZADATKA

Odrediti sve proste brojeve $p$ takve da je broj $14p^2 + 1$ takođe prost.

REŠENJE ZADATKA

Proverimo vrednost izraza za prva tri prosta broja: $p = 2 ,$ $p = 3$ i $p = 5 .$

\begin{aligned} p=2 &\implies 14 \cdot 2^2 + 1 = 57 = 3 \cdot 19 \\ p=3 &\implies 14 \cdot 3^2 + 1 = 127 \text{ (prost broj)} \\ p=5 &\implies 14 \cdot 5^2 + 1 = 351 = 3 \cdot 117 \end{aligned}

Primećujemo da za $p = 2$ i $p = 5$ dobijamo složene brojeve deljive sa 3. Ispitajmo deljivost izraza $14p^2 + 1$ sa 3 za sve proste brojeve $p \neq 3 .$

Svaki prost broj $p \neq 3$ nije deljiv sa 3, pa pri deljenju sa 3 može imati ostatak 1 ili 2. Zato se može zapisati u obliku $p = 3k + 1$ ili $p = 3k + 2 ,$ gde je $k$ ceo broj.

Posmatrajmo kvadrat broja $p$ u oba slučaja. Za $p = 3k + 1$ dobijamo:

p^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1

Za $p = 3k + 2$ dobijamo:

p^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1

U oba slučaja vidimo da $p^2$ pri deljenju sa 3 daje ostatak 1, odnosno može se zapisati kao $p^2 = 3m + 1$ za neki ceo broj $m .$

Zamenimo $p^2 = 3m + 1$ u početni izraz $14p^2 + 1 .$

14p^2 + 1 = 14(3m + 1) + 1 = 42m + 14 + 1 = 42m + 15

Izvlačenjem zajedničkog činioca 3 dobijamo:

42m + 15 = 3(14m + 5)

Pošto je $p \ge 2 ,$ izraz $3(14m + 5)$ je sigurno veći od 3 i deljiv je sa 3, što znači da je složen broj. Dakle, za svaki prost broj $p \neq 3$ izraz $14p^2 + 1$ je složen.

Zaključujemo da je jedino rešenje zadatka $p = 3 .$

p = 3

180