3380.

182.a

TEKST ZADATKA

Naći najmanji prirodan broj koji pomnožen sa 150 daje: kvadrat;

REŠENJE ZADATKA

Da bi neki prirodan broj bio kvadrat, svi izložioci u njegovoj kanonskoj faktorizaciji (rastavljanju na proste činioce) moraju biti parni brojevi.

Rastavljamo broj 150 na proste činioce:

150=21⋅31⋅52150 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2

Neka je traženi broj n. n . Proizvod brojeva 150 i n n je:

150⋅n=21⋅31⋅52⋅n150 \cdot n = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot n

Da bi proizvod bio kvadrat, izložioci svih prostih činilaca moraju biti parni. Prosti činioci 2 i 3 trenutno imaju neparan izložilac (1). Da bismo dobili najmanji broj n, n , moramo ih pomnožiti sa još po jednim činiocem 2 i 3, kako bi njihovi izložioci postali 2.

Računamo traženi najmanji prirodan broj n: n :

n=21⋅31=6n = 2^1 \cdot 3^1 = 6

Provera potvrđuje da je dobijeni proizvod zaista kvadrat prirodnog broja:

150⋅6=900=302150 \cdot 6 = 900 = 30^2