3388.

185

TEKST ZADATKA

Proizvod četiri uzastopna prirodna broja je 3024. 3024 . Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su četiri uzastopna prirodna broja n,n+1,n+2 n, n+1, n+2 i n+3. n+3 . Njihov proizvod možemo zapisati u obliku jednačine:

n(n+1)(n+2)(n+3)=3024n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024

Umesto rešavanja jednačine četvrtog stepena, iskoristićemo činjenicu da su u pitanju prirodni brojevi i primeniti kanonsku faktorizaciju, odnosno rastaviti broj 3024 3024 na proste činioce.

Delimo broj 3024 3024 redom prostim brojevima:

3024=2⋅15121512=2⋅756756=2⋅378378=2⋅189189=3⋅6363=3⋅2121=3⋅77=7⋅1\begin{aligned} 3024 &= 2 \cdot 1512 \\ 1512 &= 2 \cdot 756 \\ 756 &= 2 \cdot 378 \\ 378 &= 2 \cdot 189 \\ 189 &= 3 \cdot 63 \\ 63 &= 3 \cdot 21 \\ 21 &= 3 \cdot 7 \\ 7 &= 7 \cdot 1 \end{aligned}

Na osnovu deljenja, kanonska faktorizacija broja 3024 3024 je:

3024=24⋅33⋅73024 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7

Pošto je 7 7 prost činilac u faktorizaciji, jedan od tražena četiri uzastopna broja mora biti deljiv sa 7. 7 .

S obzirom na to da je 104=10000, 10^4 = 10000 , što je znatno veće od 3024, 3024 , traženi brojevi moraju biti manji od 10. 10 . Zato umnožak broja 7 7 ne može biti 14 14 ili veći, već mora biti tačno 7. 7 .

Četiri uzastopna prirodna broja koja uključuju broj 7 7 mogu biti samo neki od sledećih skupova:

{4,5,6,7},{5,6,7,8},{6,7,8,9}ili{7,8,9,10}\{4, 5, 6, 7\}, \quad \{5, 6, 7, 8\}, \quad \{6, 7, 8, 9\} \quad \text{ili} \quad \{7, 8, 9, 10\}

Broj 3024 3024 nije deljiv sa 5 5 (ne završava se cifrom 0 0 ili 5 5 ), pa nijedan od traženih brojeva ne sme biti deljiv sa 5. 5 .

Zbog toga odbacujemo skupove koji sadrže brojeve 5 5 ili 10. 10 . Jedini preostali mogući skup je {6,7,8,9}. \{6, 7, 8, 9\} .

Proveravamo da li proizvod preostalih brojeva 6,8 6, 8 i 9 9 odgovara preostalim prostim činiocima 24⋅33: 2^4 \cdot 3^3 :

6⋅8⋅9=(2⋅3)⋅23⋅32=24⋅33=16⋅27=4326 \cdot 8 \cdot 9 = (2 \cdot 3) \cdot 2^3 \cdot 3^2 = 2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432

Pošto se proizvod poklapa sa preostalim delom faktorizacije, zaključujemo da su traženi brojevi:

6,7,8,96, 7, 8, 9