3389.

183.b

TEKST ZADATKA

Pomnožiti date brojeve a=2100 a = 2100 (slučaj 1) i b=2625 b = 2625 (slučaj 2) što je moguće manjim prirodnim brojem tako da se dobije potpun kub.

REŠENJE ZADATKA

Da bi prirodan broj bio potpun kub, u njegovoj kanonskoj faktorizaciji svi eksponenti prostih činilaca moraju biti deljivi sa 3. 3 .

Razmotrimo prvi slučaj, broj a=2100. a = 2100 . Odredimo njegovu kanonsku faktorizaciju.

2100=22⋅31⋅52⋅712100 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1

Da bi se dobio potpun kub, svaki eksponent mora biti dopunjen do najbližeg broja deljivog sa 3. 3 . Najmanji prirodan broj x x kojim treba pomnožiti 2100 2100 dobijamo dopunom eksponenata:

x=23−2⋅33−1⋅53−2⋅73−1=21⋅32⋅51⋅72x = 2^{3-2} \cdot 3^{3-1} \cdot 5^{3-2} \cdot 7^{3-1} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2

Računamo vrednost broja x: x :

x=2⋅9⋅5⋅49=4410x = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 49 = 4410

Razmotrimo drugi slučaj, broj b=2625. b = 2625 . Odredimo njegovu kanonsku faktorizaciju.

2625=31⋅53⋅712625 = 3^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1

Da bi se dobio potpun kub, svaki eksponent mora biti dopunjen do najbližeg broja deljivog sa 3. 3 . Eksponent broja 5 5 je već deljiv sa 3, 3 , pa ga ne menjamo. Najmanji prirodan broj y y kojim treba pomnožiti 2625 2625 je:

y=33−1⋅73−1=32⋅72y = 3^{3-1} \cdot 7^{3-1} = 3^2 \cdot 7^2

Računamo vrednost broja y: y :

y=9⋅49=441y = 9 \cdot 49 = 441