3667.

286

TEKST ZADATKA

Potrebno je da se napravi mešavina tri vrste istog proizvoda po cenama od 800 800 dinara po kilogramu, 700 700 dinara po kilogramu i 600 600 dinara po kilogramu, da bi se dobila mešavina od 300 300 kilograma koja će se prodavati po ceni od 750 750 dinara po kilogramu. Kako treba pomešati ove tri vrste proizvoda (odrediti bar jedno rešenje)?

REŠENJE ZADATKA

Neka su x, x , y y i z z količine (u kilogramima) prve, druge i treće vrste proizvoda redom. Ukupna količina mešavine je 300 kg, 300 \text{ kg} , pa važi:

x+y+z=300x + y + z = 300

Ukupna cena mešavine mora biti jednaka zbiru cena pojedinačnih proizvoda. Cena mešavine je 300⋅750 300 \cdot 750 dinara.

800x+700y+600z=300⋅750800x + 700y + 600z = 300 \cdot 750

Pojednostavljujemo drugu jednačinu deljenjem sa 100 100 i računamo proizvod na desnoj strani:

8x+7y+6z=22508x + 7y + 6z = 2250

Iz prve jednačine izražavamo z z i zamenjujemo u drugu jednačinu:

z=300−x−y8x+7y+6(300−x−y)=2250\begin{aligned} z &= 300 - x - y \\ 8x + 7y + 6(300 - x - y) &= 2250 \end{aligned}

Sređujemo dobijenu jednačinu:

8x+7y+1800−6x−6y=22502x+y=450\begin{aligned} 8x + 7y + 1800 - 6x - 6y &= 2250 \\ 2x + y &= 450 \end{aligned}

Izražavamo y y preko x: x :

y=450−2xy = 450 - 2x

Sada izražavamo i z z preko x x zamenom y y u izraz za z: z :

z=300−x−(450−2x)z=300−x−450+2xz=x−150\begin{aligned} z &= 300 - x - (450 - 2x) \\ z &= 300 - x - 450 + 2x \\ z &= x - 150 \end{aligned}

Pošto količine proizvoda moraju biti strogo veće od nule (jer mešamo sve tri vrste), postavljamo uslove x>0, x > 0 , y>0 y > 0 i z>0: z > 0 :

450−2x>0⇒x<225x−150>0⇒x>150\begin{aligned} 450 - 2x &> 0 \Rightarrow x < 225 \\ x - 150 &> 0 \Rightarrow x > 150 \end{aligned}

Dakle, x x može biti bilo koji broj takav da je 150<x<225. 150 < x < 225 . Pošto se traži bar jedno rešenje, možemo izabrati proizvoljnu vrednost za x x iz ovog intervala, na primer x=200: x = 200 :

x=200x = 200

Za izabrano x=200, x = 200 , računamo vrednosti za y y i z: z :

y=450−2⋅200=450−400=50z=200−150=50\begin{aligned} y &= 450 - 2 \cdot 200 = 450 - 400 = 50 \\ z &= 200 - 150 = 50 \end{aligned}

Jedno od mogućih rešenja je da se pomeša 200 kg 200 \text{ kg} prve, 50 kg 50 \text{ kg} druge i 50 kg 50 \text{ kg} treće vrste proizvoda.

(x,y,z)=(200,50,50)(x, y, z) = (200, 50, 50)