1379. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Da bismo ispitali prirodu rešenja, prvo određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a = 1, \quad b = 3, \quad c = m

Priroda rešenja zavisi od znaka diskriminante. Zapisujemo formulu za diskriminantu:

D = b^2 - 4ac

Zamenjujemo koeficijente i računamo vrednost diskriminante:

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 9 - 4m

Slučaj 1: Jednačina ima dva različita realna rešenja ako i samo ako je diskriminanta strogo veća od nule ( $D > 0$ ).

9 - 4m > 0 \implies 4m < 9 \implies m < \frac{9}{4}

Slučaj 2: Jednačina ima jedno realno rešenje (dvostruko) ako i samo ako je diskriminanta jednaka nuli ( $D = 0$ ).

9 - 4m = 0 \implies 4m = 9 \implies m = \frac{9}{4}

Slučaj 3: Jednačina ima jedan par konjugovanih kompleksnih rešenja ako i samo ako je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ).

9 - 4m < 0 \implies 4m > 9 \implies m > \frac{9}{4}

Na osnovu prethodnih koraka, možemo zapisati konačan zaključak o prirodi rešenja u zavisnosti od parametra $m .$

\begin{cases} m < \frac{9}{4}, & \text{dva različita realna rešenja} \\ m = \frac{9}{4}, & \text{jedno dvostruko realno rešenje} \\ m > \frac{9}{4}, & \text{par konjugovanih kompleksnih rešenja} \end{cases}

1379.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce