1569.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Ne rešavajući jednačinu x2−8x+15=0 x^2 - 8x + 15 = 0 odrediti vrednost izraza 7x12−5x1x2+7x22x13−3x12x2+3x1x22−x23,x1>x2. \frac{7x_1^2 - 5x_1x_2 + 7x_2^2}{x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 - x_2^3}, \quad x_1 > x_2.

REŠENJE ZADATKA

Prema Vijetovim formulama za jednačinu x2−8x+15=0 x^2 - 8x + 15 = 0 važi:

x1+x2=−ba=8,x1x2=ca=15x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 15

Transformišemo brojilac datog izraza tako da možemo da primenimo Vijetove formule:

7x12−5x1x2+7x22=7(x12+x22)−5x1x27x_1^2 - 5x_1x_2 + 7x_2^2 = 7(x_1^2 + x_2^2) - 5x_1x_2

Kako je x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2, x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 , brojilac postaje:

7((x1+x2)2−2x1x2)−5x1x2=7(x1+x2)2−19x1x27((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) - 5x_1x_2 = 7(x_1 + x_2)^2 - 19x_1x_2

Računamo vrednost brojioca zamenom vrednosti iz Vijetovih formula:

7⋅82−19⋅15=7⋅64−285=448−285=1637 \cdot 8^2 - 19 \cdot 15 = 7 \cdot 64 - 285 = 448 - 285 = 163

Imenilac datog izraza predstavlja kub razlike. Prepoznajemo formulu:

x13−3x12x2+3x1x22−x23=(x1−x2)3x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 - x_2^3 = (x_1 - x_2)^3

Da bismo odredili vrednost izraza x1−x2, x_1 - x_2 , koristimo identitet za kvadrat razlike:

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

Zamenom vrednosti računamo kvadrat razlike:

(x1−x2)2=82−4⋅15=64−60=4(x_1 - x_2)^2 = 8^2 - 4 \cdot 15 = 64 - 60 = 4

S obzirom na uslov zadatka da je x1>x2, x_1 > x_2 , zaključujemo da je razlika pozitivna, pa je:

x1−x2=4=2x_1 - x_2 = \sqrt{4} = 2

Sada računamo vrednost imenioca:

(x1−x2)3=23=8(x_1 - x_2)^3 = 2^3 = 8

Konačna vrednost celog izraza je količnik izračunatog brojioca i imenioca:

7x12−5x1x2+7x22x13−3x12x2+3x1x22−x23=1638\frac{7x_1^2 - 5x_1x_2 + 7x_2^2}{x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 - x_2^3} = \frac{163}{8}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti