1610.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Odrediti realne koeficijente p p i q q jednačine x2+px−q=0 x^2 + px - q = 0 tako da oni budu i rešenja jednačine.

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važi x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} i x1⋅x2=ca. x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} . Za datu jednačinu x2+px−q=0 x^2 + px - q = 0 imamo:

{x1+x2=−px1⋅x2=−q\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = -q \end{cases}

Kako su koeficijenti p p i q q ujedno i rešenja jednačine, možemo zameniti x1=p x_1 = p i x2=q x_2 = q u prethodni sistem:

{p+q=−pp⋅q=−q\begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = -q \end{cases}

Sređivanjem prve jednačine dobijamo vezu između p p i q: q :

p+p+q=0  ⟹  2p+q=0  ⟹  q=−2pp + p + q = 0 \implies 2p + q = 0 \implies q = -2p

Sređivanjem druge jednačine dobijamo:

pq+q=0  ⟹  q(p+1)=0pq + q = 0 \implies q(p + 1) = 0

Iz jednačine q(p+1)=0 q(p + 1) = 0 sledi da je q=0 q = 0 ili p+1=0. p + 1 = 0 . Razmotrićemo oba slučaja. Prvi slučaj, ako je q=0, q = 0 , zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

2p+0=0  ⟹  p=02p + 0 = 0 \implies p = 0

Drugi slučaj, ako je p+1=0, p + 1 = 0 , odnosno p=−1, p = -1 , zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

2(−1)+q=0  ⟹  −2+q=0  ⟹  q=22(-1) + q = 0 \implies -2 + q = 0 \implies q = 2

Dakle, traženi realni koeficijenti koji su ujedno i rešenja date jednačine su:

(p,q)∈{(0,0),(−1,2)}(p, q) \in \{(0, 0), (-1, 2)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti