1611. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Neka su $a$ i $b$ dužine kateta pravouglog trougla. Na osnovu uslova zadatka i Pitagorine teoreme, postavljamo sistem jednačina:

\begin{cases} a + b = {% k %} \\ a^2 + b^2 = {% c %}^2 \end{cases}

Kvadriramo prvu jednačinu kako bismo iskoristili identitet za kvadrat binoma i povezali je sa drugom jednačinom.

(a + b)^2 = {% k %}^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu jednačine.

a^2 + 2ab + b^2 = {% k %}^2

Zamenjujemo zbir kvadrata kateta $a^2 + b^2$ sa kvadratom hipotenuze

{% c

^2 %} na osnovu druge jednačine sistema.

{% c %}^2 + 2ab = {% k %}^2

Izražavamo proizvod kateta $ab$ iz dobijene jednačine.

ab = \frac{{% k %}^2 - {% c %}^2}{2}

Na osnovu Vijetovih formula, brojevi čiji je zbir

S = {% k

%} i proizvod

P = \frac{{% k

^2 -

c

^2}{2} %} predstavljaju rešenja kvadratne jednačine oblika

x^2 - Sx + P = 0 .

x^2 - {% k %}x + \frac{{% k %}^2 - {% c %}^2}{2} = 0

Množimo jednačinu sa $2$ kako bismo se oslobodili razlomka.

2x^2 - 2{% k %}x + {% k %}^2 - {% c %}^2 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

x_{1,2} = \frac{-(-2{% k %}) \pm \sqrt{(-2{% k %})^2 - 4 \cdot 2 \cdot ({% k %}^2 - {% c %}^2)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost izraza pod korenom (diskriminantu).

x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm \sqrt{4{% k %}^2 - 8{% k %}^2 + 8{% c %}^2}}{4}

Sređujemo izraz pod korenom.

x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm \sqrt{8{% c %}^2 - 4{% k %}^2}}{4}

Izvlačimo zajednički činilac $4$ ispred korena.

x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm 2\sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{4}

Skraćujemo razlomak sa $2 .$

x_{1,2} = \frac{{% k %} \pm \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}

Rešenja ove kvadratne jednačine predstavljaju tražene dužine kateta pravouglog trougla.

a = \frac{{% k %} + \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}, \quad b = \frac{{% k %} - \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}

238