1612.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Udaljenost dva grada je 588 km. 588 \text{ km} . Brzi voz pređe tu udaljenost 2 2 sata i 20 20 minuta brže od putničkog. Kolika je brzina svakog od ovih vozova ako se njihove brzine razlikuju za 21 km/h? 21 \text{ km/h} ?

REŠENJE ZADATKA

Neka je v1 v_1 brzina brzog voza, a v2 v_2 brzina putničkog voza. Iz teksta zadatka znamo da je razlika u brzinama 21 km/h, 21 \text{ km/h} , pa važi:

v1=v2+21v_1 = v_2 + 21

Vreme putovanja putničkog voza je t2, t_2 , a brzog t1. t_1 . Razlika u vremenu je 2 2 sata i 20 20 minuta, što moramo pretvoriti u sate:

Δt=2+2060=2+13=73 h\Delta t = 2 + \frac{20}{60} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \text{ h}

Znamo da je vreme jednako pređenom putu podeljenom sa brzinom, odnosno t=sv. t = \frac{s}{v} . Postavljamo jednačinu za razliku u vremenu:

sv2−sv1=73\frac{s}{v_2} - \frac{s}{v_1} = \frac{7}{3}

Zamenjujemo poznate vrednosti za put s=588 km s = 588 \text{ km} i brzinu brzog voza v1=v2+21: v_1 = v_2 + 21 :

588v2−588v2+21=73\frac{588}{v_2} - \frac{588}{v_2 + 21} = \frac{7}{3}

Delimo celu jednačinu sa 7 7 kako bismo pojednostavili račun:

84v2−84v2+21=13\frac{84}{v_2} - \frac{84}{v_2 + 21} = \frac{1}{3}

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem 3v2(v2+21) 3v_2(v_2 + 21) uz uslov da je brzina pozitivna (v2>0 v_2 > 0 ):

3⋅84⋅(v2+21)−3⋅84⋅v2=v2(v2+21)3 \cdot 84 \cdot (v_2 + 21) - 3 \cdot 84 \cdot v_2 = v_2(v_2 + 21)

Sređujemo dobijenu jednačinu:

252v2+5292−252v2=v22+21v2252v_2 + 5292 - 252v_2 = v_2^2 + 21v_2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu po v2: v_2 :

v22+21v2−5292=0v_2^2 + 21v_2 - 5292 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu x=−b±b2−4ac2a: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :

v2=−21±212−4⋅1⋅(−5292)2⋅1v_2 = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5292)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

v2=−21±441+211682=−21±216092v_2 = \frac{-21 \pm \sqrt{441 + 21168}}{2} = \frac{-21 \pm \sqrt{21609}}{2}

Koren iz 21609 21609 je 147, 147 , pa dobijamo dva rešenja:

v2=−21±1472v_2 = \frac{-21 \pm 147}{2}

Računamo prvo rešenje:

v2,1=−21+1472=1262=63v_{2,1} = \frac{-21 + 147}{2} = \frac{126}{2} = 63

Računamo drugo rešenje:

v2,2=−21−1472=−1682=−84v_{2,2} = \frac{-21 - 147}{2} = \frac{-168}{2} = -84

Brzina ne može biti negativna, pa odbacujemo rešenje v2,2=−84. v_{2,2} = -84 . Brzina putničkog voza je dakle 63 km/h. 63 \text{ km/h} . Sada računamo brzinu brzog voza:

v1=63+21=84 km/hv_1 = 63 + 21 = 84 \text{ km/h}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti