4530. Rešavanje pravouglog trougla

Neka je tačka $D$ podnožje visine $h_c$ iz temena $C$ na stranicu $AB .$ Pošto je trougao oštrougli, tačka $D$ leži na duži $AB ,$ pa važi jednakost:

AD + DB = c

Posmatramo pravougli trougao $ADC .$ Primenom definicije tangensa oštrog ugla, možemo izraziti dužinu duži $AD$ preko visine $h_c$ i ugla $\alpha .$

\text{tg} \alpha = \frac{h_c}{AD} \implies AD = \frac{h_c}{\text{tg} \alpha}

Slično, posmatramo pravougli trougao $BDC .$ Primenom definicije tangensa oštrog ugla, možemo izraziti dužinu duži $DB$ preko visine $h_c$ i ugla $\beta .$

\text{tg} \beta = \frac{h_c}{DB} \implies DB = \frac{h_c}{\text{tg} \beta}

Zamenom dobijenih izraza za $AD$ i $DB$ u početnu jednakost $AD + DB = c$ dobijamo:

\frac{h_c}{\text{tg} \alpha} + \frac{h_c}{\text{tg} \beta} = c

Izvlačimo $h_c$ kao zajednički činilac na levoj strani jednačine.

h_c \left( \frac{1}{\text{tg} \alpha} + \frac{1}{\text{tg} \beta} \right) = c

Svodimo sabirke u zagradi na zajednički imenilac.

h_c \left( \frac{\text{tg} \beta + \text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta} \right) = c

Množenjem obe strane jednačine sa $\frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}$ dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen.

h_c = c \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}

950