4524. Rešavanje pravouglog trougla

REŠENJE ZADATKA

Centralni ugao pravilnog mnogougla sa $n$ stranica računamo po formuli:

\varphi = \frac{360^\circ}{n}

Za petnaestougao ( $n = 15$ ) centralni ugao iznosi:

\varphi = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ

Na skici posmatramo karakteristični trougao pravilnog petnaestougla. To je jednakokraki trougao sa kracima dužine $R$ i osnovicom dužine $a .$ Visina koja odgovara osnovici je poluprečnik upisanog kruga $r .$ Ta visina deli karakteristični trougao na dva podudarna pravougla trougla sa uglom $\frac{\varphi}{2} = 12^\circ$ pri vrhu.

Iz definicije sinusa za taj pravougli trougao računamo stranicu $a :$

\sin 12^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{R}

Množenjem sa $R$ i zamenom $R = 2$ dobijamo:

\frac{a}{2} = 2 \sin 12^\circ \implies a = 4 \sin 12^\circ

Iz definicije kosinusa za isti pravougli trougao računamo poluprečnik upisanog kruga $r :$

\cos 12^\circ = \frac{r}{R}

Zamenom $R = 2$ dobijamo:

r = 2 \cos 12^\circ

Površinu pravilnog petnaestougla računamo kao zbir površina $15$ karakterističnih trouglova:

P = 15 \cdot \frac{a \cdot r}{2}

Zamenom dobijenih vrednosti za $a$ i $r$ dobijamo površinu:

P = 15 \cdot \frac{4 \sin 12^\circ \cdot 2 \cos 12^\circ}{2} = 60 \sin 12^\circ \cos 12^\circ

949