2956.

1000

TEKST ZADATKA

Dužine stranica jednog trougla su a−2, a - 2 , a a i a+2, a + 2 , a jedan ugao trougla jednak je 120∘. 120^\circ . Odrediti a. a .

REŠENJE ZADATKA

Kako je 120∘ 120^\circ tup ugao, on mora biti najveći ugao u trouglu. Najveći ugao se uvek nalazi naspram najduže stranice. U ovom slučaju, najduža stranica je a+2. a + 2 .

Primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu a+2 a + 2 i njoj naspramni ugao od 120∘. 120^\circ .

(a+2)2=(a−2)2+a2−2(a−2)acos⁡120∘(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 - 2(a - 2)a \cos 120^\circ

Znamo da je vrednost kosinusa za 120∘ 120^\circ jednaka −12. -\frac{1}{2} .

(a+2)2=(a−2)2+a2−2(a−2)a(−12)(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 - 2(a - 2)a \left(-\frac{1}{2}\right)

Sređujemo izraz množenjem i skraćivanjem.

(a+2)2=(a−2)2+a2+a(a−2)(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 + a(a - 2)

Kvadriramo binome i množimo članove.

a2+4a+4=a2−4a+4+a2+a2−2aa^2 + 4a + 4 = a^2 - 4a + 4 + a^2 + a^2 - 2a

Grupišemo sve članove na desnoj strani jednakosti.

a2+4a+4=3a2−6a+4a^2 + 4a + 4 = 3a^2 - 6a + 4

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu.

2a2−10a=02a^2 - 10a = 0

Izvlačimo zajednički činilac 2a. 2a .

2a(a−5)=02a(a - 5) = 0

Rešenja ove jednačine su:

a=0ilia=5a = 0 \quad \text{ili} \quad a = 5

Kako dužine stranica trougla moraju biti pozitivni brojevi, mora da važi a−2>0, a - 2 > 0 , odnosno a>2. a > 2 . Zbog toga rešenje a=0 a = 0 odbacujemo i dobijamo konačno rešenje.

a=5a = 5