TEKST ZADATKA
Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: a = 3 + 3 , a = 3 + \sqrt{3} , a = 3 + 3 , b = 3 2 , b = 3\sqrt{2} , b = 3 2 , α = 75 ∘ \alpha = 75^\circ α = 7 5 ∘ ;
REŠENJE ZADATKA
Prvo, primenjujemo sinusnu teoremu kako bismo odredili ugao β . \beta . β .
a sin α = b sin β ⟹ sin β = b sin α a \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} sin α a = sin β b ⟹ sin β = a b sin α Računamo vrednost za sin 75 ∘ \sin 75^\circ sin 7 5 ∘ koristeći adicionu formulu za sinus.
sin 75 ∘ = sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = sin 45 ∘ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ sin 30 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} sin 7 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2 Zamenjujemo poznate vrednosti u izraz za sin β . \sin \beta . sin β .
sin β = 3 2 ⋅ 6 + 2 4 3 + 3 \sin \beta = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{3 + \sqrt{3}} sin β = 3 + 3 3 2 ⋅ 4 6 + 2 Množimo vrednosti u brojiocu i izvlačimo zajednički faktor, a imenilac takođe faktorišemo.
sin β = 3 12 + 3 4 4 3 ( 3 + 1 ) = 6 3 + 6 4 3 ( 3 + 1 ) = 6 ( 3 + 1 ) 4 3 ( 3 + 1 ) = 3 2 ( 3 + 1 ) 3 ( 3 + 1 ) \sin \beta = \frac{\frac{3\sqrt{12} + 3\sqrt{4}}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6\sqrt{3} + 6}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6(\sqrt{3} + 1)}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} sin β = 3 ( 3 + 1 ) 4 3 12 + 3 4 = 3 ( 3 + 1 ) 4 6 3 + 6 = 3 ( 3 + 1 ) 4 6 ( 3 + 1 ) = 3 ( 3 + 1 ) 2 3 ( 3 + 1 ) Skraćujemo izraz sa 3 + 1 \sqrt{3} + 1 3 + 1 i dobijamo vrednost za sin β . \sin \beta . sin β .
sin β = 3 2 3 = 3 2 3 = 3 2 \sin \beta = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} sin β = 3 2 3 = 2 3 3 = 2 3 Kako je sin β = 3 2 , \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} , sin β = 2 3 , ugao β \beta β može biti 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ ili 120 ∘ . 120^\circ . 12 0 ∘ . Međutim, ako bi bilo β = 120 ∘ , \beta = 120^\circ , β = 12 0 ∘ , zbir uglova α + β = 75 ∘ + 120 ∘ = 195 ∘ \alpha + \beta = 75^\circ + 120^\circ = 195^\circ α + β = 7 5 ∘ + 12 0 ∘ = 19 5 ∘ bi premašio 180 ∘ , 180^\circ , 18 0 ∘ , što je nemoguće u trouglu. Zato usvajamo jedino moguće rešenje.
β = 60 ∘ \beta = 60^\circ β = 6 0 ∘ Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180 ∘ , 180^\circ , 18 0 ∘ , pa računamo treći ugao γ . \gamma . γ .
γ = 180 ∘ − ( α + β ) = 180 ∘ − ( 75 ∘ + 60 ∘ ) = 180 ∘ − 135 ∘ = 45 ∘ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ γ = 18 0 ∘ − ( α + β ) = 18 0 ∘ − ( 7 5 ∘ + 6 0 ∘ ) = 18 0 ∘ − 13 5 ∘ = 4 5 ∘ Sada primenjujemo sinusnu teoremu da bismo izračunali dužinu treće stranice c . c . c .
c sin γ = b sin β ⟹ c = b sin γ sin β \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \implies c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} sin γ c = sin β b ⟹ c = sin β b sin γ Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo c . c . c .
c = 3 2 sin 45 ∘ sin 60 ∘ = 3 2 ⋅ 2 2 3 2 c = \frac{3\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} c = sin 6 0 ∘ 3 2 sin 4 5 ∘ = 2 3 3 2 ⋅ 2 2 Uprošćavamo izraz da bismo dobili konačnu vrednost za stranicu c . c . c .
c = 3 ⋅ 2 2 3 2 = 3 3 2 = 6 3 = 2 3 c = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} c = 2 3 2 3 ⋅ 2 = 2 3 3 = 3 6 = 2 3