2974.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: R=26 R = 26 ; a=42 a = 42 ; hb=31 h_b = 31 ;

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu sinusne teoreme, odnos stranice i sinusa naspramnog ugla jednak je dvostrukom poluprečniku opisane kružnice:

asin⁡α=2R  ⟹  sin⁡α=a2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{a}{2R}

Zamenom poznatih vrednosti računamo sin⁡α: \sin \alpha :

sin⁡α=422⋅26=4252=2126\sin \alpha = \frac{42}{2 \cdot 26} = \frac{42}{52} = \frac{21}{26}

Pošto je sin⁡α>0, \sin \alpha > 0 , ugao α \alpha može biti oštar ili tup. Postoje dva moguća rešenja za ugao α: \alpha :

α1=arcsin⁡2126,α2=180∘−arcsin⁡2126\alpha_1 = \arcsin \frac{21}{26}, \quad \alpha_2 = 180^\circ - \arcsin \frac{21}{26}

Visina hb h_b spuštena na stranicu b b obrazuje pravougli trougao sa stranicom c c i uglom α. \alpha . Važi relacija:

sin⁡α=hbc  ⟹  c=hbsin⁡α\sin \alpha = \frac{h_b}{c} \implies c = \frac{h_b}{\sin \alpha}

Zamenom vrednosti za hb h_b i sin⁡α \sin \alpha računamo dužinu stranice c: c :

c=312126=31⋅2621=80621c = \frac{31}{\frac{21}{26}} = \frac{31 \cdot 26}{21} = \frac{806}{21}

Visina hb h_b se takođe može izraziti preko stranice a a i ugla γ: \gamma :

hb=asin⁡γ  ⟹  sin⁡γ=hbah_b = a \sin \gamma \implies \sin \gamma = \frac{h_b}{a}

Zamenom poznatih vrednosti računamo sin⁡γ: \sin \gamma :

sin⁡γ=3142\sin \gamma = \frac{31}{42}

Pošto je stranica c<a c < a (80621≈38.38<42 \frac{806}{21} \approx 38.38 < 42 ), ugao γ \gamma mora biti manji od ugla α. \alpha . Zato γ \gamma mora biti oštar ugao:

γ=arcsin⁡3142\gamma = \arcsin \frac{31}{42}

Da bismo našli ugao β \beta i stranicu b, b , potrebni su nam kosinusi uglova α \alpha i γ. \gamma . Računamo cos⁡γ \cos \gamma koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

cos⁡γ=1−sin⁡2γ=1−(3142)2=1764−9611764=80342\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{31}{42}\right)^2} = \sqrt{\frac{1764 - 961}{1764}} = \frac{\sqrt{803}}{42}

Za ugao α \alpha imamo dve mogućnosti (oštar i tup ugao), pa kosinus može biti pozitivan ili negativan:

cos⁡α1,2=±1−sin⁡2α=±1−(2126)2=±676−441676=±23526\cos \alpha_{1,2} = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{21}{26}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{676 - 441}{676}} = \pm \frac{\sqrt{235}}{26}

Zbir uglova u trouglu je 180∘, 180^\circ , pa je sin⁡β=sin⁡(180∘−(α+γ))=sin⁡(α+γ). \sin \beta = \sin(180^\circ - (\alpha + \gamma)) = \sin(\alpha + \gamma) . Primenjujemo adicionu formulu:

sin⁡β=sin⁡αcos⁡γ+cos⁡αsin⁡γ\sin \beta = \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma

Za prvi slučaj (kada je α \alpha oštar ugao, cos⁡α>0 \cos \alpha > 0 ) računamo sin⁡β1: \sin \beta_1 :

sin⁡β1=2126⋅80342+23526⋅3142=21803+312351092\sin \beta_1 = \frac{21}{26} \cdot \frac{\sqrt{803}}{42} + \frac{\sqrt{235}}{26} \cdot \frac{31}{42} = \frac{21\sqrt{803} + 31\sqrt{235}}{1092}

Za drugi slučaj (kada je α \alpha tup ugao, cos⁡α<0 \cos \alpha < 0 ) računamo sin⁡β2: \sin \beta_2 :

sin⁡β2=2126⋅80342+(−23526)⋅3142=21803−312351092\sin \beta_2 = \frac{21}{26} \cdot \frac{\sqrt{803}}{42} + \left(-\frac{\sqrt{235}}{26}\right) \cdot \frac{31}{42} = \frac{21\sqrt{803} - 31\sqrt{235}}{1092}

Stranicu b b računamo ponovnom primenom sinusne teoreme b=2Rsin⁡β. b = 2R \sin \beta . Za prvi slučaj dobijamo:

b1=2⋅26⋅21803+312351092=52⋅21803+312351092=21803+3123521b_1 = 2 \cdot 26 \cdot \frac{21\sqrt{803} + 31\sqrt{235}}{1092} = 52 \cdot \frac{21\sqrt{803} + 31\sqrt{235}}{1092} = \frac{21\sqrt{803} + 31\sqrt{235}}{21}

Za drugi slučaj dobijamo:

b2=52⋅21803−312351092=21803−3123521b_2 = 52 \cdot \frac{21\sqrt{803} - 31\sqrt{235}}{1092} = \frac{21\sqrt{803} - 31\sqrt{235}}{21}

Konačna rešenja za elemente trougla u prvom slučaju su:

{α1=arcsin⁡2126,β1=180∘−(α1+γ),γ=arcsin⁡3142a=42,b1=21803+3123521,c=80621\begin{cases} \alpha_1 = \arcsin \frac{21}{26}, \quad \beta_1 = 180^\circ - (\alpha_1 + \gamma), \quad \gamma = \arcsin \frac{31}{42} \\ a = 42, \quad b_1 = \frac{21\sqrt{803} + 31\sqrt{235}}{21}, \quad c = \frac{806}{21} \end{cases}

Konačna rešenja za elemente trougla u drugom slučaju su:

{α2=180∘−arcsin⁡2126,β2=180∘−(α2+γ),γ=arcsin⁡3142a=42,b2=21803−3123521,c=80621\begin{cases} \alpha_2 = 180^\circ - \arcsin \frac{21}{26}, \quad \beta_2 = 180^\circ - (\alpha_2 + \gamma), \quad \gamma = \arcsin \frac{31}{42} \\ a = 42, \quad b_2 = \frac{21\sqrt{803} - 31\sqrt{235}}{21}, \quad c = \frac{806}{21} \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti