2973.

1008.в

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: b+c,a,α. b + c, a, \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo dati zbir stranica sa s=b+c. s = b + c . Polazimo od kosinusne teoreme za stranicu a. a .

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zbir kvadrata stranica b2+c2 b^2 + c^2 možemo izraziti preko kvadrata binoma.

b2+c2=(b+c)2−2bc=s2−2bcb^2 + c^2 = (b+c)^2 - 2bc = s^2 - 2bc

Zamenom ovog izraza u kosinusnu teoremu dobijamo novu jednakost.

a2=s2−2bc−2bccos⁡αa^2 = s^2 - 2bc - 2bc \cos \alpha

Izvlačimo zajednički činilac −2bc -2bc na desnoj strani jednakosti.

a2=s2−2bc(1+cos⁡α)a^2 = s^2 - 2bc(1 + \cos \alpha)

Izražavamo proizvod stranica bc bc iz dobijene jednačine.

bc=s2−a22(1+cos⁡α)bc = \frac{s^2 - a^2}{2(1 + \cos \alpha)}

Koristeći trigonometrijski identitet za polovinu ugla 1+cos⁡α=2cos⁡2α2, 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} , izraz za proizvod stranica možemo dodatno uprostiti. Neka je taj proizvod jednak p. p .

p=bc=s2−a24cos⁡2α2p = bc = \frac{s^2 - a^2}{4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}

Sada su nam poznati zbir b+c=s b+c = s i proizvod bc=p. bc = p . Na osnovu Vijetovih pravila, stranice b b i c c predstavljaju rešenja kvadratne jednačine po pomoćnoj promenljivoj t. t .

t2−st+p=0t^2 - st + p = 0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijamo tražene dužine stranica b b i c. c . Zbog simetrije, jedno rešenje će biti b, b , a drugo c. c .

t1,2=s±s2−4p2t_{1,2} = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4p}}{2}

Nakon što smo odredili sve tri stranice, nepoznate uglove β \beta i γ \gamma računamo primenom sinusne teoreme.

sin⁡β=bsin⁡αa,sin⁡γ=csin⁡αa\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}, \quad \sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a}

Treći ugao možemo proveriti ili izračunati koristeći osobinu da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu 180∘. 180^\circ .

γ=180∘−(α+β)\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)