2976.

1008.ђ

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: a,R,hb. a, R, h_b .

REŠENJE ZADATKA

Koristeći sinusnu teoremu, možemo odrediti ugao α \alpha preko date stranice a a i poluprečnika opisane kružnice R. R .

asin⁡α=2R  ⟹  sin⁡α=a2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{a}{2R}

Visina hb h_b i stranica a a formiraju pravougli trougao u kojem je ugao naspram visine jednak γ \gamma (ili 180∘−γ 180^\circ - \gamma ako je ugao tup). Kako su sinusi suplementnih uglova jednaki, možemo direktno odrediti sin⁡γ. \sin \gamma .

sin⁡γ=hba\sin \gamma = \frac{h_b}{a}

Treći ugao trougla, β, \beta , računamo koristeći osobinu da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu 180∘. 180^\circ .

β=180∘−(α+γ)\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)

Stranicu b b računamo primenom sinusne teoreme na ugao β. \beta .

bsin⁡β=2R  ⟹  b=2Rsin⁡β\frac{b}{\sin \beta} = 2R \implies b = 2R \sin \beta

Stranicu c c takođe možemo izračunati primenom sinusne teoreme na ugao γ. \gamma .

csin⁡γ=2R  ⟹  c=2Rsin⁡γ\frac{c}{\sin \gamma} = 2R \implies c = 2R \sin \gamma

Zamenom izraza za sin⁡γ \sin \gamma u prethodnu jednačinu, dobijamo konačnu formulu za stranicu c. c .

c=2R⋅hba=2Rhbac = 2R \cdot \frac{h_b}{a} = \frac{2R h_b}{a}