2977.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: s=24,5 s = 24,5 ; α=18∘ \alpha = 18^\circ ; γ=12,15∘ \gamma = 12,15^\circ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo treći ugao trougla, β, \beta , koristeći činjenicu da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu 180∘: 180^\circ :

β=180∘−(α+γ)=180∘−(18∘+12,15∘)=180∘−30,15∘=149,85∘\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (18^\circ + 12,15^\circ) = 180^\circ - 30,15^\circ = 149,85^\circ

Poluobim trougla s s se može izraziti preko poluprečnika opisanog kruga R R i uglova trougla. Prema sinusnoj teoremi važi a=2Rsin⁡α, a = 2R \sin \alpha , b=2Rsin⁡β b = 2R \sin \beta i c=2Rsin⁡γ, c = 2R \sin \gamma , pa dobijamo:

s=a+b+c2=2Rsin⁡α+2Rsin⁡β+2Rsin⁡γ2=R(sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ)s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2R \sin \alpha + 2R \sin \beta + 2R \sin \gamma}{2} = R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)

Za zbir sinusa unutrašnjih uglova u trouglu važi poznati trigonometrijski identitet:

sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=4cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Zamenom ovog identiteta u izraz za poluobim dobijamo:

s=4Rcos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2s = 4R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Stranicu a a možemo zapisati koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla:

a=2Rsin⁡α=4Rsin⁡α2cos⁡α2a = 2R \sin \alpha = 4R \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Deljenjem izraza za stranicu a a izrazom za poluobim s, s , poluprečnik R R se skraćuje i dobijamo direktnu formulu za stranicu:

as=4Rsin⁡α2cos⁡α24Rcos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2=sin⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2  ⟹  a=ssin⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2\frac{a}{s} = \frac{4R \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{4R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} \implies a = s \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}

Na isti način, analognim postupkom, dobijamo i formule za preostale dve stranice:

b=ssin⁡β2cos⁡α2cos⁡γ2,c=ssin⁡γ2cos⁡α2cos⁡β2b = s \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}, \quad c = s \frac{\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}}

Računamo polovine uglova trougla koje su nam potrebne za formule:

α2=9∘,β2=74,925∘,γ2=6,075∘\frac{\alpha}{2} = 9^\circ, \quad \frac{\beta}{2} = 74,925^\circ, \quad \frac{\gamma}{2} = 6,075^\circ

Ubacujemo poznate vrednosti u formulu za stranicu a a i računamo njenu približnu vrednost:

a=24,5⋅sin⁡9∘cos⁡74,925∘cos⁡6,075∘≈24,5⋅0,15640,2601⋅0,9944≈14,82a = 24,5 \cdot \frac{\sin 9^\circ}{\cos 74,925^\circ \cos 6,075^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,1564}{0,2601 \cdot 0,9944} \approx 14,82

Slično, računamo stranicu b: b :

b=24,5⋅sin⁡74,925∘cos⁡9∘cos⁡6,075∘≈24,5⋅0,96560,9877⋅0,9944≈24,09b = 24,5 \cdot \frac{\sin 74,925^\circ}{\cos 9^\circ \cos 6,075^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,9656}{0,9877 \cdot 0,9944} \approx 24,09

Na kraju, računamo i stranicu c: c :

c=24,5⋅sin⁡6,075∘cos⁡9∘cos⁡74,925∘≈24,5⋅0,10580,9877⋅0,2601≈10,09c = 24,5 \cdot \frac{\sin 6,075^\circ}{\cos 9^\circ \cos 74,925^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,1058}{0,9877 \cdot 0,2601} \approx 10,09

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti