2983.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: b−c, b - c , R, R , α. \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Neka je data razlika stranica b−c=d. b - c = d . Prema sinusnoj teoremi, stranice trougla možemo izraziti preko poluprečnika opisane kružnice R R i odgovarajućih uglova:

a=2Rsin⁡α,b=2Rsin⁡β,c=2Rsin⁡γa = 2R \sin \alpha, \quad b = 2R \sin \beta, \quad c = 2R \sin \gamma

Zamenom izraza za stranice b b i c c u jednačinu za njihovu razliku dobijamo:

2Rsin⁡β−2Rsin⁡γ=d2R \sin \beta - 2R \sin \gamma = d

Izvlačimo 2R 2R ispred zagrade i primenjujemo trigonometrijsku formulu za razliku sinusa sin⁡β−sin⁡γ=2sin⁡β−γ2cos⁡β+γ2: \sin \beta - \sin \gamma = 2 \sin \frac{\beta - \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} :

2R(2sin⁡β−γ2cos⁡β+γ2)=d2R \left( 2 \sin \frac{\beta - \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \right) = d

Sređivanjem prethodnog izraza dobijamo:

4Rsin⁡β−γ2cos⁡β+γ2=d4R \sin \frac{\beta - \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} = d

Zbir uglova u trouglu je α+β+γ=180∘, \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ , pa važi β+γ=180∘−α. \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha . Deljenjem sa 2 2 dobijamo:

β+γ2=90∘−α2\frac{\beta + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}

Korišćenjem osobina komplementarnih uglova, kosinus ovog ugla možemo zapisati kao:

cos⁡β+γ2=cos⁡(90∘−α2)=sin⁡α2\cos \frac{\beta + \gamma}{2} = \cos \left( 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \frac{\alpha}{2}

Vraćamo ovaj rezultat u jednačinu izvedenu iz razlike stranica:

4Rsin⁡β−γ2sin⁡α2=d4R \sin \frac{\beta - \gamma}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = d

Iz ove jednačine izražavamo nepoznati deo koji sadrži razliku uglova β \beta i γ: \gamma :

sin⁡β−γ2=d4Rsin⁡α2\sin \frac{\beta - \gamma}{2} = \frac{d}{4R \sin \frac{\alpha}{2}}

Kako su d, d , R R i α \alpha poznati, možemo izračunati vrednost ovog izraza. Neka je ta vrednost k. k . Tada je:

β−γ2=arcsin⁡k\frac{\beta - \gamma}{2} = \arcsin k

Sada imamo sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate (β \beta i γ \gamma ):

{β+γ2=90∘−α2β−γ2=arcsin⁡k\begin{cases} \frac{\beta + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \\ \frac{\beta - \gamma}{2} = \arcsin k \end{cases}

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednačina računamo uglove β \beta i γ: \gamma :

{β=90∘−α2+arcsin⁡kγ=90∘−α2−arcsin⁡k\begin{cases} \beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \arcsin k \\ \gamma = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} - \arcsin k \end{cases}

Konačno, preostale elemente trougla (stranice a, a , b b i c c ) računamo pomoću sinusne teoreme:

{a=2Rsin⁡αb=2Rsin⁡βc=2Rsin⁡γ\begin{cases} a = 2R \sin \alpha \\ b = 2R \sin \beta \\ c = 2R \sin \gamma \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti